Nguyen Huyen Dieu

Với phương trình bậc ba x³ – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 với -2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = -2sin70^o , x2 = 2sin10^o , x3 = 2sin50^o các bạn tự kiểm tra lại nhé! Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:

x = $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\sqrt{-\frac{3}{4}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$

Do ta không thể đưa được $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}$ về  dạng a + bi với a,b C R để rut gọn biểu thức nghiệm. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của pt đã cho.

Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia ), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R.

Giải

4x³ + 1 = y⁴  Đặt z = y²   ta có pt  4x³ + 1 = z² <=> 4x³ = z²- 1 = (z+1)(z-1) Mà (z+1,z-1) = (z+1,(z+1)-(z-1)) = (z+1,2) = Ư(2)

=> (z+1,z-1) = 1 hoặc (z+1,z-1) = 2

Nếu (z+1,z-1) = 1 thì  4x³ = (z+1)(z-1) -> z+1 = 4m³, z-1= n³ -> 4m³ - n³ = (z+1)-(z-1) = 2 -> 4m³ - n³ = 2 -> n  chia hết cho 2 -> n = 2n₁ -> 4m³ - 8n₁³ = 2 -> 2m³ - 4n₁³ = 1 -> 2(m³ - 2n₁³) =1 vô lí nên phuong trình 4m³ - n³ = 2 ko có nghiệm nguyên

Nếu (z+1,z-1) = 2 thì  4x³ = (z+1)(z-1) -> z+1 = 2m³, z-1= 2n³ -> 2m³ - 2n³ = (z+1)-(z-1) = 2 -> 2m³ - 2n³ = 2 -> m³ = n³ + 1 -> n³ < m³ < (n+1)³

-> m = n +1 <-> n = -1;0

-> n = -1, m = 0 -> 4x³ = 4m³n³ = 0  -> x = 0 -> z² =1 -> z = 1; -1 Khi z = 1 -> y² = 1 -> y = 1;-1 khi z = -1 ta loại do z² > 0 Vậy (0;1) và (0;-1) là các nghiệm của pt

-> n = 0, m = 1 -> 4x³ = 4m³n³ = 0  -> x = 0 -> tương tự trên ta có y = 1;-1

Tóm lại pt có hai cặp nghiệm: (0;1) và (0;-1)

Mình giới thiệu thêm thêm cach khac nhé :

2y³ = x³ + 4

Dễ thấy nếu một trong các nghiệm x,y của pt bằng 0 thì nghiệm còn lại không là số nguyên.Từ đó nghiệm nguyên nếu có của phương trình phải khac 0

Giả sử (x,y) = d $\rightarrow$ x = dx₁ , y = dy₁ với (x₁,y₁) = 1

2y³ = x³ + 4 $\rightarrow$ 2y₁³d³ = x₁³d³ + 4 $\Leftrightarrow$ (2y₁³ - x₁³)d³ = 4 $\rightarrow$ d³ là Ư(4) $\rightarrow$

d³ $\epsilon$ {$\pm 1,\pm 2,\pm 4,$} $\rightarrow$ d³ = $\pm 1$$\rightarrow$ d =$\pm 1$

Với d = 1 ta có 2y₁³ - x₁³ = 4 $\rightarrow$ x₁³ = 2y₁³ -  4 = 2(y₁³ - 2) $\vdots$ 2 $\rightarrow$ x₁ $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ x₁= 2x₂ Từ đó 2y₁³ - x₁³ = 4 $\rightarrow$ ​ 2y₁³ - 8x₂³ = 4  $\rightarrow$ y₁³ - 4x₂³ = 2  $\rightarrow$ y₁³ $\vdots$ 2 $\rightarrow$ y₁ $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ y₁=2y₂ $\rightarrow$  (x₁,y₁) = 2(x₂,y₂) =1 mâu thuẫn

Với d = -1 cmtt ta cũng dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy pt đã cho ko có nghiệm nguyên

Các bạn giải hộ mình bài toán sau:

Chứng minh rằng phương trình Đi-ô-phăng 

$x^{4} +y^{4} +z^{4}=4s^{4}$

 không có nghiệm nguyên dương ?