Mawatari Tanaka

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC,BCD,CDA,DAB$. Chứng minh rằng $EFGH$ là hình chữ nhật.

Giải và biện luận phương trình $(x+a+b)(x+b+c)(x+c+a)(a+b+c)=abcx$ theo ẩn thực $x$ và các tham số thực $a,b,c$.

Chắc ý bạn không phải là "mặt phẳng chứa 3 điểm" mà là với 3 điểm trong không gian không thẳng hàng thì ta luôn xác định được một và chỉ một mặt phẳng. Đây là tiên đề, không cần chứng minh và cũng không chứng minh được.

Nếu bạn cần tưởng tuongj:

- 2 điểm (hoặc nhóm điểm thẳng hàng); Mọi mặt phẳng quay quanh trục là đường thẳng nối các điểm thì luôn đi qua các điểm cho trước đó.

- 4 điểm trở lên: Xét hình tứ diện.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $a^2-ab+b^2$ là ước của $2b^2+ab$.

Tìm mối liên hệ giữa hai số nguyên $a,b$ biết $2b^2+ab\vdots a^2-ab+b^2$.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{x^2}{(x+y)^2}+\frac{y^2}{(y+z)^2}+\frac{z}{z+x}.$$

Cho tập hợp $S$ được định nghĩa là tập hợp các tập hợp chỉ chứa hai phần tử, mỗi phần tử là một số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện: hiệu của hai số bằng tổng tất cả các chữ số của hai số đó. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên với 4 số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $P(a)=P(b)=1$ và $P(c)=P(d)=-1$. Biết rằng $a<b,a<c$ và $c<d$, chứng minh rằng $a,b,c,d$ là 4 số nguyên liên tiếp.

Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^4+y^4+z^4=288$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^5+y^5+z^5$.

Cho các số thực dương $a,b,c$. Đặt $x=\frac{b-c}a,y=\frac{c-a}b,z=\frac{a-b}c$. Chứng minh rằng$$x^2+y^2+z^2\geq2\sqrt2(x+y+z).$$