TARGET

Một bổ đề có nhiều ứng dụng:

Cho các số thực không âm thỏa mãn :$\sum \left ( ab \right )^{2}+3\left ( abc \right )^{2}\geq 6$

Chứng minh:$\sum a\geq 3$

$a,b,c>0,a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} + \frac{9}{4\left ( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} +c\sqrt{c}\right )} \geq \frac{9}{8}$

Đây chỉ là một mánh để đưa về Iran 1996 và áp dụng bổ đề $\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum ab \right )^{2}\leq \frac{\left ( \sum a \right )^{6}}{27}$

Để có $\sum ab$ ở dưới mẫu thì đoạn này dùng Cosi cái roẹt là ra

Mình nghĩ bạn không nên post mấy bài mẹo mực kiểu này .Ý kiến cá nhân

$\sum \left ( a-b \right )^{2}\left ( \frac{2\left ( a+b \right )\left ( c+b-a \right )\left ( a+c-b \right )-\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\left ( a+b+c \right )}{2\left ( \sum a^{3}+abc \right )\left ( c+b \right )\left ( c+a \right )} \right )\geq 0$

Ta luôn có hằng đẳng thức$\sum \left ( a-b \right )^{2}\left ( b-c \right )\left ( a-c \right )\left ( a+b+kc \right )\doteq 0$

Áp dụng cho k=0 thì ta có VT thực chất sẽ bằng$\sum \left ( a-b \right )^{2}\left ( \frac{\left ( a+b \right )\left ( c+a-b \right )\left ( c+b-a \right )}{\left ( \sum a^{3} +abc\right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )} \right ) \geq 0$ (Q.E.D)

$2\sum a^{4}\left (b-c \right )^{2} +\sum a^{2}\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )^{2} +\sum \left (b-c \right )^{2}\left (a^2-bc \right )^{2}\geq 0$

Cho a,b là các số thực không âm thỏa mãn a+b=2.CMR

$3ab+a^{a}b^{b} \leq 4$

CHo a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn 2 số không đồng thời bằng 0 .Chứng minh rằng

\[ \sum a^2\sqrt{a^2+3bc} \ge \sum ab\sqrt{2(a^2+b^2)}.\]

$\sum a^{3} -3abc= 0$

Từ phương trình 1 

$$\frac{a+2b}{a+2c}+\frac{b+2c}{b+2a}+\frac{c+2a}{c+2b} \ge \sqrt{\frac{5(a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 4}$$

Võ Quốc Bá Cẩn