TARGET

$P\left ( x \right )\doteq \left ( 3x^{2}+x+1 \right )^{10}=\sum C_{10}^{k}\left ( 3x^{2} +x\right )^{10-k}\doteq \sum C_{10}^{k}\sum C_{10-k}^{f}.3^{10-k-f}x^{20-2k-f}$

Do $20-2k-f=4$ và$f\leq 10-k$. Suy ra:

$K\geq 6$

$\rightarrow K\left \{ 6,7,8 \right \}$ tương ứng với $f\left \{ 4,2,0 \right \}$

Vậy Hệ số của $x^{4}$ là:$C_{10}^{6}.C_{4}^{4}+C_{10}^{7}.C_{3}^{2}.3+C_{10}^{8}.C_{2}^{0}.9\doteq 1695$

Một bổ đề có nhiều ứng dụng:

Cho các số thực không âm thỏa mãn :$\sum \left ( ab \right )^{2}+3\left ( abc \right )^{2}\geq 6$

Chứng minh:$\sum a\geq 3$

Chứng minh với $ a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1:\sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$

Cho  $\sum a^{2}\doteq 1$

Tìm MAX A =$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )\left ( a+b+c \right )$

Cho  $\sum a^{2}\doteq 1$

Tìm MAX A =$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )\left ( a+b+c \right )$

Cho a,b là các số thực không âm thỏa mãn a+b=2.CMR

$3ab+a^{a}b^{b} \leq 4$