tkd23112006

$$a_1 = 1; \, a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2} \, \forall n \ge 1; \lim a_n = ?$$

Ta có: $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}^2}$

=>$a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{a_{n}^2}\geq 0$

=>($a_{n}$) là DS tăng.

Giả sử ($a_{n}$) có giới hạn hữu hạn. lim$a_{n}$=x(x>1).

Ta có x=x+$\frac{1}{x^2}$=>Vô nghiệm

=> lim$a_{n}$=$+\infty$

Tính $lim\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$

Ta có dãy:

 $u_{1}=\frac{1}{2}$

 $u_{n}=u_{n-1}.\frac{1}{2}$

=> Là CSN vs q=$\frac{1}{2}$

=>$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^1}+...+\frac{1}{2^n} khi n\rightarrow \infty$=1-$(\frac{1}{2})^n$

=>lim$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$=lim(1-$(\frac{1}{2})^n$)=1

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1-16xyz}{4}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$

Đặt 2x=cosA, 2y=cosB, 2z=cosC.

Đưa về biến đổi lượng giác.

...

Tìm đc min là $\frac{13}{28}$ tại x=y=z=$\frac{1}{4}$

Theo Cosi ta có: $a^2+b^2+c^2+1\geq\frac{1}{2} (a+b)^2 + \frac{1}{2} (c+1)^2$  

                            $(a+1)(b+1)(c+1)\leq\frac{(a+b+c+3)^3}{27}$

                           $\rightarrow P\leq \frac{1}{a+b+c+1}-\frac{27}{(a+b+c+3)^3}$

Đặt t=a+b+c+1, t>1.

Xét HS f(t)= $\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3}$ với $t\in (1;+\infty )$

Sử dụng BBT ta được max f(t)=f(4)=$\frac{1}{8}$

=> P $\leq \frac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Ta có:

  $\sum_{cyc}^{}a(b+c).\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq(\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{a(b+c)}}{a\sqrt{a(b+c)}})^{2}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(ab+bc+ac)^{2}$

Chia hai vế cho 2(ab+bc+ca) và sử dụng BĐT Cauchy ta được đpcm.