tkd23112006

Cho $a,b,c\geq 0$ . CMR:

$(1+a)(1+b)(1+c)(1+\sqrt[3]{abc})^3\geq ((1+\sqrt{ab})(1+\sqrt{bc})(1+\sqrt{ac}))^2$

Cho tứ diện ABCD. R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp. CMR:            $R\geq 3r$
 

Cho tam giác nhọn ABC. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.Các đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D,E và cắt nhau tại O. CE cắt BD tại F. Chứng minh các cặp góc bằng  nhau:   $\widehat{AFB}=\widehat{AFC}$ và  $\widehat{BFC}=\widehat{BOC}$

Cho dãy số {$u_{n}$} xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{n} & = & 2022\\ u_{n+1} & = &\frac{u_{n}}{n.u_{n}^{2}+1} \end{matrix}\right.$. CMR dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tim giới hạn đó.

    Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên đoạn OA lấy điểm J không trùng với A và O, đường thẳng qua J vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt tại M, N, Q. Các đường thẳng BN và CM cắt nhau tại K, đường thẳng AK cắt BC tại P. Gọi I là trung điểm của BC.

1. CMR: tứ giác MNIP nội tiếp.
2. Gọi L là trực tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác AMN. CMR: 3 điểm H, K, L thẳng hàng.