Đến nội dung


Serine

Đăng ký: 16-07-2021
Offline Đăng nhập: 19-01-2022 - 16:04
*****

#732432 Có bao nhiêu cách...

Gửi bởi Serine trong 13-01-2022 - 20:15

Warm up:
1/ Một hộp viết có 3 cây viết loại A, 3 cây loại B, và 4 cây loại C. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 8 cây viết biết rằng mỗi lần chỉ lấy 1 cây và các cây viết cùng loại thì giống nhau.

Số cách lấy ra 8 cây viết mà mỗi lần chỉ lấy 1 cây bằng số cách xếp 8 cây viết trong hộp bút thành một hàng ngang có thứ tự

 

TH1: trong hộp còn 2 cây A: $8C1*7C3*4C4$ cách

TH2: trong hộp còn 2 cây B: $8C1*7C3*4C4$ cách

TH3: trong hộp còn 1A, 1B: $8C2*6C2*4C4$

TH4: trong hộp còn 1A, 1C: $8C2*6C3*3C3$

TH5: trong hộp còn 1B, 1C: $8C2*6C3*3C3$

 

Đáp số: $2*(8C1*7C3*4C4) + 8C2*6C2*4C4 + 2*(8C2*6C3*3C3)$

 

Tổng quát lên thì em chịu lun  :botay




#732164 Chứng minh $(DMN)$ tiếp xúc $(DJK)$

Gửi bởi Serine trong 20-12-2021 - 23:56

Đúng phong cách của Hoang72, tỉ số từa lưa hột dưa :v

Giờ có hỏi sao Hoàng nhìn ra mấy tỉ số đó chắc chỉ có làm riết quen thôi nhỉ




#732052 Chứng minh OP song song IQ

Gửi bởi Serine trong 16-12-2021 - 01:08

ý a: bài quen nhưng tớ lười nhớ lại :x

ý b: $EI \cap OB = X, IF\cap OC=Y$. Có $XIYO$ nội tiếp $(OI)$ biến đổi tương đương hai góc so le chút là ra kêt quả




#731408 Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$

Gửi bởi Serine trong 31-10-2021 - 21:39

Ngược lại: Tam giác $AGC$ vuông tại $G$. Lấy điểm $E$ trong tam giác sao cho $\angle AEG=180-\angle GAC$, $D$ đối xứng $A$ qua $E$. $B=EG\cap CD$

Chứng minh $AD$ là phân giác $BAC$

Hình gửi kèm

  • figure.png



#731381 Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$

Gửi bởi Serine trong 30-10-2021 - 12:05

Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.

Hình gửi kèm

  • 1timeuse.PNG



#730616 LÂM ĐỒNG 2022

Gửi bởi Serine trong 22-09-2021 - 13:03

KỲ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỀN BỒI DƯỠNG THI HSG QG NĂM 2022
 
Câu 1. (3.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$$
 
Câu 2. (4.0 điểm) Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$. Cho $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lim n\sqrt{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
 
Câu 3. (3.0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2abc=2a+4b+7c$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =a+b+c$.
 
Câu 4. (4.0 điểm)
a) Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ sao cho $AB = CD = EF = R$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, DE, FA$. Chứng minh rằng tam giác MNP đều.
b) Cho tam giác $ABC$ có phân giác trong $AD$ ($D$ thuộc $BC$) và thỏa mãn các điều kiện $AC+ AD = BC$ và $AB + AD = CD$. Hãy tỉnh các góc của tam giác $ABC$.
 
Câu 5. (3.0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn điều kiện:
$$3f(x) – 2f(f(x)) = x,\quad \forall x \in \mathbb{Z}$$.
 
Câu 6. (3.0 điểm) Trong một quốc gia có $n > 2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳcó đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho cácđường bay cho một hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
(i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng hàng không duy nhất.
(ii) Di chuyển bằng đường bay của một hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép cho tối đa bao nhiêu hãng hàng không?
 
khỏi hỏi, em 90% rớt



#730455 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 16-09-2021 - 12:00

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

 

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$




#730403 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 15-09-2021 - 07:41

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.




#730391 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 14-09-2021 - 21:12

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R, f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$




#730361 Chứng minh rằng $NI=NM$

Gửi bởi Serine trong 13-09-2021 - 19:35

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $BC, OA$. Xét $D$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $MC$ và không trùng với hai đầu mút. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ lên $AD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $E$, song song $AB$ và đường thẳng qua $F$, song song $AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$. Chứng minh rằng $NI=NM$.



#730300 $f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x)$

Gửi bởi Serine trong 11-09-2021 - 15:08

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

 

gõ lộn hihi, xin lỗi nha




#730283 Chứng minh pt $\frac{x+1}{y}+\frac{y+...

Gửi bởi Serine trong 10-09-2021 - 16:37

Cho phương trình:

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}=3$$

với $x, y$ là các số nguyên dương. Chứng minh pt đã cho có vô số nghiệm.




#730269 Chứng minh $JA' \bot BC$

Gửi bởi Serine trong 09-09-2021 - 23:04

$HA' \cap BC= M$, dễ cm $HBA'C$ là hbh nên $M$ là td 2 đoạn đó

Kẻ $AL \parallel Ix \parallel BC (L \in (O))$

$\implies IM \parallel AA' $

Mà $IB \parallel AY, IC \parallel AX$

$\implies A(YX,HA')=I(BC,HA')=-1$

$\implies L, A', J$ thẳng hàng

Có $A'A$ là đk của $(O)$ nên $JA' \bot BC$

 

Em tưởng ép y chang bổ đề đó vô nên nghĩ hơi lâu. Ý anh là z hả hay là lời giải khác, có thì cho em xin nha!

Hình gửi kèm

  • JA bot BC.PNG



#730265 Chứng minh $JA' \bot BC$

Gửi bởi Serine trong 09-09-2021 - 20:21

Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, $I$ là trung điểm $AH$, đt qua $A$ song song với $IB, IC$ cắt $(O)$ tại $Y, X$. $J$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(O), A'$ đx $A$ qua $O$. Chứng minh $JA' \bot BC$




#730241 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 2021 THPT Lê Quý Đôn

Gửi bởi Serine trong 08-09-2021 - 12:07

Day 1 (7/9/2021)
Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$
a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$
b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun