Đến nội dung


Serine

Đăng ký: 16-07-2021
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:51
*****

#730455 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 16-09-2021 - 12:00

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

 

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$




#730403 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 15-09-2021 - 07:41

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.




#730391 $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

Gửi bởi Serine trong 14-09-2021 - 21:12

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R, f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$




#730361 Chứng minh rằng $NI=NM$

Gửi bởi Serine trong 13-09-2021 - 19:35

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $BC, OA$. Xét $D$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $MC$ và không trùng với hai đầu mút. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ lên $AD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $E$, song song $AB$ và đường thẳng qua $F$, song song $AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$. Chứng minh rằng $NI=NM$.



#730300 $f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x)$

Gửi bởi Serine trong 11-09-2021 - 15:08

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(y-f(x))=f(x^{2020}-y)-2019yf(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

 

gõ lộn hihi, xin lỗi nha




#730283 Chứng minh pt $\frac{x+1}{y}+\frac{y+...

Gửi bởi Serine trong 10-09-2021 - 16:37

Cho phương trình:

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}=3$$

với $x, y$ là các số nguyên dương. Chứng minh pt đã cho có vô số nghiệm.




#730269 Chứng minh $JA' \bot BC$

Gửi bởi Serine trong 09-09-2021 - 23:04

$HA' \cap BC= M$, dễ cm $HBA'C$ là hbh nên $M$ là td 2 đoạn đó

Kẻ $AL \parallel Ix \parallel BC (L \in (O))$

$\implies IM \parallel AA' $

Mà $IB \parallel AY, IC \parallel AX$

$\implies A(YX,HA')=I(BC,HA')=-1$

$\implies L, A', J$ thẳng hàng

Có $A'A$ là đk của $(O)$ nên $JA' \bot BC$

 

Em tưởng ép y chang bổ đề đó vô nên nghĩ hơi lâu. Ý anh là z hả hay là lời giải khác, có thì cho em xin nha!

Hình gửi kèm

  • JA bot BC.PNG



#730265 Chứng minh $JA' \bot BC$

Gửi bởi Serine trong 09-09-2021 - 20:21

Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, $I$ là trung điểm $AH$, đt qua $A$ song song với $IB, IC$ cắt $(O)$ tại $Y, X$. $J$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(O), A'$ đx $A$ qua $O$. Chứng minh $JA' \bot BC$




#730241 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 2021 THPT Lê Quý Đôn

Gửi bởi Serine trong 08-09-2021 - 12:07

Day 1 (7/9/2021)
Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$
a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$
b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun




#730235 Chứng minh trung điểm $EF$ thuộc 1 đường cố định khi $D$...

Gửi bởi Serine trong 08-09-2021 - 08:27

Tam giác $ABC, D$ thuộc $BC$. $DE, DF$ vuông góc với $AB, AC$ tại $E, F$. Chứng minh trung điểm $EF$ thuộc 1 đường cố định khi $D$ thay đổi trên $BC$.




#730134 Kinh nghiệm cào điểm olympic

Gửi bởi Serine trong 05-09-2021 - 00:50

Trong các kỳ thi IMO, các số điểm phổ biến ở mỗi bài là 1/7, 2/7, 7/7.

Những bài được 1, 2 điểm do "cào điểm" được, em thì có một thắc mắc về chiến thuật "cào điểm" hiệu quả ấy.

Em nhắm là không làm được câu tổ với câu số ở bài TST sắp tới rồi nên muốn cào chút điểm, mọi người cho em xin ít kinh nghiệm nha.




#730116 $AI$ là đối trung $\Delta ABC$

Gửi bởi Serine trong 04-09-2021 - 10:01

$\Delta ABC$ có $M, P$ là trung điểm $BC, AB$, $(AB) \cap (APM) = I$. Chứng minh $AI$ là đối trung $\Delta ABC$.




#730109 Thông báo "Xin lỗi, bạn không có quyền thực hiện việc này" khi truy c...

Gửi bởi Serine trong 03-09-2021 - 23:04

1790 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

2 thành viên, 1787 khách, 1 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)

 

SerineHoang72

 

Thời gian 11:03




#730103 Chứng minh 2 góc có chung đường phân giác

Gửi bởi Serine trong 03-09-2021 - 21:08

$\angle DBF=\angle DCE$

$\angle DFB=180-\angle DFA=180-\angle DEA=\angle DEC$

$\Rightarrow \Delta DFB=\Delta DEC$

$\Rightarrow \angle BDF= \angle CDE \Rightarrow \angle BDE$ và $\angle CDF$ có chung đường phân giác

 

$F, E$ bất kỳ cũng được luôn, nay anh ra đề dỏm quá  :rolleyes:




#730088 Đề thi thử đội tuyển THPT Ngô Gia Tự 2021 -2022

Gửi bởi Serine trong 03-09-2021 - 12:37

Câu b:

Dùng cộng góc suy ra $(DMN)$ tiếp xúc BC tại D nên có tâm thuộc AD. Sau đó chứng minh hình bình hành là ra được dpcm

Bài em cắt nhỏ ra đúng là còn khó hơn bài toán gốc

 

Lại tự đi vào vết xe đổ của mình, em chơi kiểu z bí quài mãi ko chừa hjx  :rolleyes:

Việc chứng minh $(DMN)$ tiếp xúc $BC$ có thể làm như sau:

 

$G=MN \cap BC$

 

$\frac{GA^2}{GD^2}=\frac{GC^2}{GN^2}=\frac{GC*GB}{GN*GM}$

 

$\Rightarrow GD^2=GN*GM$