Serine

$HA' \cap BC= M$, dễ cm $HBA'C$ là hbh nên $M$ là td 2 đoạn đó

Kẻ $AL \parallel Ix \parallel BC (L \in (O))$

$\implies IM \parallel AA' $

Mà $IB \parallel AY, IC \parallel AX$

$\implies A(YX,HA')=I(BC,HA')=-1$

$\implies L, A', J$ thẳng hàng

Có $A'A$ là đk của $(O)$ nên $JA' \bot BC$

 

Em tưởng ép y chang bổ đề đó vô nên nghĩ hơi lâu. Ý anh là z hả hay là lời giải khác, có thì cho em xin nha!

Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, $I$ là trung điểm $AH$, đt qua $A$ song song với $IB, IC$ cắt $(O)$ tại $Y, X$. $J$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(O), A'$ đx $A$ qua $O$. Chứng minh $JA' \bot BC$

Day 1 (7/9/2021)
Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$
a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$
b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun

Tam giác $ABC, D$ thuộc $BC$. $DE, DF$ vuông góc với $AB, AC$ tại $E, F$. Chứng minh trung điểm $EF$ thuộc 1 đường cố định khi $D$ thay đổi trên $BC$.

Trong các kỳ thi IMO, các số điểm phổ biến ở mỗi bài là 1/7, 2/7, 7/7.

Những bài được 1, 2 điểm do "cào điểm" được, em thì có một thắc mắc về chiến thuật "cào điểm" hiệu quả ấy.

Em nhắm là không làm được câu tổ với câu số ở bài TST sắp tới rồi nên muốn cào chút điểm, mọi người cho em xin ít kinh nghiệm nha.

$\Delta ABC$ có $M, P$ là trung điểm $BC, AB$, $(AB) \cap (APM) = I$. Chứng minh $AI$ là đối trung $\Delta ABC$.

1790 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

2 thành viên, 1787 khách, 1 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)

 

Serine, Hoang72

 

Thời gian 11:03

Có

$\angle DBF=\angle DCE$

$\angle DFB=180-\angle DFA=180-\angle DEA=\angle DEC$

$\Rightarrow \Delta DFB=\Delta DEC$

$\Rightarrow \angle BDF= \angle CDE \Rightarrow \angle BDE$ và $\angle CDF$ có chung đường phân giác

 

$F, E$ bất kỳ cũng được luôn, nay anh ra đề dỏm quá 

Câu b:

Dùng cộng góc suy ra $(DMN)$ tiếp xúc BC tại D nên có tâm thuộc AD. Sau đó chứng minh hình bình hành là ra được dpcm

Bài em cắt nhỏ ra đúng là còn khó hơn bài toán gốc

 

Lại tự đi vào vết xe đổ của mình, em chơi kiểu z bí quài mãi ko chừa hjx 

Việc chứng minh $(DMN)$ tiếp xúc $BC$ có thể làm như sau:

 

$G=MN \cap BC$

 

$\frac{GA^2}{GD^2}=\frac{GC^2}{GN^2}=\frac{GC*GB}{GN*GM}$

 

$\Rightarrow GD^2=GN*GM$

Ngày 1

4. Cho $A, B, C$ là 3 điểm thuộc đường tròn $(O)$ tâm $O$ có $O, B, C$ cố định. $A$ đi động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn. $AD, BE, CF$ là 3 đường cao của tam giác $ ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $EF$ cắt đường tròn đường kính $AB, AC$ tại $M,N$ khác A.

a. Chứng minh khi $A$ thay đổi, tồn tại $1$ điểm $T$ cố định luôn cách đều $M, N$.

b. Chứng minh tâm của đường tròn $(DMN)$ nằm trên 1 đường tròn cố định

b.

Tâm đường tròn $(DMN)$ sẽ nằm trên $(T,R_{(O)})$ cố định

Em chuyển về được bài toán này mà nhìn muốn đui con mắt không ra 

 

Tam giác $ADC$ vuông tại $D$. $T \in DC$, $V$ là trung điểm $AC, O$ là giao của trung trực $AC$ và đt vuông góc với $DC$ tại $T$. Đt vuông góc với $OA$ cắt $(AC)$ tại $N$. Chứng minh đường thẳng qua $T$ vuông góc với $AN$ và trung trực của $DN$ và $AD$ đồng quy

Đt qua $E$ song song $BC$ cắt $AH$ tại $G$, qua $F$ song song $BC$ cắt $AH$ tại $K$

Có $\frac{EB}{AB}=\frac{AF}{AC}$ do tam giác $AHB$ đồng dạng $CHA$ và $E, F$ là tiếp điểm của đt nội tiếp với $AB, AC$

Lại có $\frac{GH}{AH}=\frac{EB}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{AK}{AH}$

$\Rightarrow GH=AK$ hay $EP+FQ=AH$

mấy hôm nay lâu lâu em cũng bị

Có vấn đề gì không ta

Nếu $y \in (0;1)$ thì $\frac{y}{y-1} < 0$

Mà $y=f(x) \Leftrightarrow x=\frac{y}{y-1} < 0$ (trái gt)

$\Rightarrow f$ không toàn ánh

Tam giác $ABC, M$ là trung điểm $BC$, đường cao $AD, BE$cắt nhau tại $H$. $S$ là giao điểm 2 tiếp tuyến tại $B, C$ của $(ABC)$. $HS$ cắt $DE$ tại $T$.

Chứng minh $TM \parallel HC$

Cho dãy số thực dương $(a_n), n\in \mathbb{N}^*$ thỏa điều kiện

 

$a_1+a_2+...+a_{n+2} < 4a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

 

Chứng minh $a_1+a_2+...+a_{n} < a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$