Serine

Từ $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2$ mà $f(yf(y))=y^2$ thì $f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$ mà nhỉ?

Chết rồi mắt với chả mũi, xin lỗi em nhiều

Bài 2:

Gọi $W_b$, $W_c$ lần lượt là tâm của các đường tròn $\omega_b$, $\omega_c$.

Ta có $MP=2W_bM.cos\widehat{W_BMP}=2W_bM.sin\widehat{DMN};NQ=2W_cN.sin\widehat{DNM}\Rightarrow \frac{MP}{NQ}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{sin\widehat{DMN}}{sin\widehat{DNM}}=\frac{W_bM}{W_cN}.\frac{DN}{DM}=1$. (Do $\Delta DMW_b\sim\Delta DNW_c$)

Vậy $MP=NQ$. (đpcm)

Lời giải của Hoang72 lúc nào cũng làm tui shock thiệt

Vậy là đề chỉ cần là: "Cho tam giác $ABC, D \in BC, (ADB)$ cắt $AC$ tại $E$, $(ADC)$ cắt $AB$ tại $F$. $M, N$ là tiếp điểm của đt nội tiếp tam giác $FBD, ECD$ với $FM, ED$. $MN$ cắt 2 đt đó tại điểm thứ 2 $P, Q$. Chứng minh $MP=NQ$"

Em nghĩ ở trên thay $x=y=z$ thì có $f(yf(y))=y^2$ rồi ạ

 bị lộn hả, $f(yf(x))$ mà

Bài 1b:

$3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5=a_n^3+3a_n^2+3a_n+1-5=(a_n^3-1)+3(a_n^2+a_n+1)-6$

$=(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)-6$

$\Rightarrow 3(a_{n+1}+2)=(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)$

$\Rightarrow \frac{3}{(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)}=\frac{1}{a_{n+1}+2}$

$\Rightarrow \frac{(a_n^2+a_n+1)-(a_n^2+a_n-2))}{(a_n^2+a_n+1)(a_n+2)}=\frac{1}{a_{n+1}+ 2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}-\frac{a_n-1}{a_n^2+a_n+1}=\frac{1}{a_{n+1}+2}$

$\Rightarrow \frac{a_n-1}{a_n^2+a_n+1}=\frac{1}{a_n+2}-\frac{1}{a_{n+1}+2}$

$\Rightarrow u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}=\frac{1}{a_1+2}-\frac{1}{a_{n+1}+2}$

Đặt $f(x)=((x+1)^3-5)/3$ có $f'(x) \geq 0$ và $a_1<a_2$

$\Rightarrow$ a là dãy tăng

Giả sử dãy a có giới hạn hữu hạn, đặt nó là L

Có $3L=(L+1)^3-5 \Leftrightarrow L=1$ v $L=-2$ (sai vì a là dãy tăng và $a_1=4$)

$\Rightarrow lim a = \infty $

$\Rightarrow lim u = \frac{1}{a_1+2} = \frac{1}{6}$

Tưởng topic bị bỏ rơi, ai làm bài hình đi  

Thay $y=z$ ta có $f(xf(y))+f(yf(y))+f(yf(x))=2xy+y^2\Rightarrow f(xf(y))+f(yf(x))=2xy,\forall x,y\in\mathbb R^+$. (2)

Phải chứng minh $f(yf(x))=y^2$ nữa, mà được cái này là thành bài chị lun

Khúc dưới ý tưởng hay á

Thay $x, y$ bởi $0: 2f(0)+f(zf(0))=0$, đặt $a=f(0)$

Nếu $a != 0$ thay z bởi $\frac{z}{a}: f(z)=-2a$ (không thỏa hàm số)

$\Rightarrow a=0$

Thay $y$ bởi 0 được $f(z(f(x)))=zx (1)$

Thay z bởi 1 vào (1) dễ thấy $f$ đơn ánh

Thay z bởi $f(x),  x$ bởi 1 vào (1) được $f(f(x)*f(1))=f(x)$

$\Rightarrow f(x)*f(1)=x$

Thay vào $x, y, z$ bởi 1 đề bài được $f(1)^2=1$

Vậy $f(x)=x$ vì $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

xin lỗi nha nãy vội quá bị ngu nên sai mất

Cho mình hỏi vì sao có: Sn=Fn+2

$S_1=F_3, S_2=F_4$

$S_{n}= S_{n-1}+ S_{n-2}$

$F_{n}= F_{n-1}+ F_{n-2}$

$\Rightarrow S_n=F_{n+2}$

Thấy mấy bài căng quá, mình đăng thêm bài nhẹ nhẹ xíu

Bài 18: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I có P là điểm bất kì trên cung BC không chứa A. Đường thẳng PB cắt đường tròn (AIB) tại M. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp (AIC) tại N. Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

$MAP=MAI-PAI=IBP-(PAC-IAC)=(\frac{B}{2}+PBC)-(PAC-\frac{A}{2})=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}$

$AMP=AMI+IMB=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}$

$\Rightarrow PA=PM$, tương tự $PA=PN$ 

$\Rightarrow P$ là tâm $(AMN)$

Số tập con của $ \left \{ 1,2,...,n \right \} $không chứa 2 số nguyên dương liên tiếp cũng chính là số xâu nhị phân kích thước n
không có 2 bit 1 liên tiếp. Gọi $S_{n}$ là số xâu nhị phân kích thước n có tính chất như thế thì ta có : $S_{1}=2; S_{2}=3$ và $S_{n}= S_{n-1}+ S_{n-2}$ với $ n\geq 3$.

Thiếu thì phải ạ

TH1: tập con của tập $S_{n+1}$ không chứa n+1: $S_n$

TH2: tập con của tập $S_{n+1}$ chứa $n+1$
   Ghép số $n+1$ vào các tập con thỏa điều kiện nhưng không chứa n: được $S_{n-1}$ tập

   Tập {n+1}

Nghĩa là: $S_{n+1}=S_n+S_{n-1}+1$

$S_{1}=1; S_{2}=2$

Đt qua $B$ vuông góc với $RC$ cắt $RC$ tại $I$, cắt đường cao $AD$ của tam giác $ABC$ tại $L$
$LB, LC$ cắt $RC, BX$ tại $I, J$

Có $\widehat{SAL}=180^{\circ}-(90^{\circ}+\widehat{BAD})=\widehat{ABC}$
$\Rightarrow \widehat{LAB}=\widehat{RBC}$  (1)

Mà $\widehat{BLA}=\widehat{RCB}$ do $LIDC$ nội tiếp và $RB=AB$
$\Rightarrow LAB=RBC \Rightarrow LA=BC$

Tương tự (1) :  $\widehat{LAC}=\widehat{BCX} $

Mà $AL=BC$ và $AC=AX \Rightarrow LAC=BCX \widehat{DLC}=\widehat{JBC} \Rightarrow LJDC$ nội tiếp $\Rightarrow LC \bot BX$
$\Rightarrow AT \bot BC$

Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha

Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AC, AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Các tiếp tuyến tại $E, F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác  $AEF$ cắt đường thẳng $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Giả sử đường thẳng $BE$ cắt đường thẳng $FN$ tại $K$ và đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $EM$ tại $L$.

1. Cm $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
2. Giả sử đường thẳng $BE$ cắt đường thẳng $CF$ tại $X$ và đường thẳng $EN$ cắt đường thẳng $FM$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ luôn đi qua điểm cố định khi $E, F$ thay đổi.

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022

Bài 1. (5đ) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=4\\3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5 \end{matrix} \right. ,\forall n \in \mathbb{N}^*$.

1. Chứng minh $a_n$ nguyên dương $\forall n \in \mathbb{N}^*$
2. Đặt $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}$. Tính giới hạn dãy $(u_n)$ khi n dần tới dương vô cực

Bài 2. (5đ) Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao là $AD, BE, CF (D \in BC, E \in CA, F \in AD)$. Gọi $\omega_B, \omega_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác $BDF$ và $CDE$; gọi $M$ là tiếp điểm của $\omega_B$ với $DF$ và $N$ là tiếp điểm của $\omega_C$ với $DE$. Đường thẳng $MN$ cắt lại $\omega_B, \omega_C$ lần lượt tại $P$ khác $M$ và $Q$ khác $N$. Chứng minh $MP=NQ$.

Bài 3. (5đ) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ thỏa mãn 

$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1, \forall x \in \mathbb{R} ^+, \forall y \in \mathbb{R} ^+.$$

Bài 4. (5đ)

1. Cho $m, n$ là các số tự nhiên thòa $n \le m-1$. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $x^2-(m-2)xy+y^2+n=0$
2. Chứng minh $a^2+\frac{4a^2+b-1}{b}$ không thể là SCP với mọi bộ số nguyên dương $(a,b)$

b) Em thử xét sự chẵn lẻ nhá. Có giới hạn nên chặn lỏng thôi $u_n>0$ cũng được. 

Cảm giác là $u_{2k}$ tăng, $u_{2k+1}$ giảm thưa anh. Với cái này em có nghĩ đến cm $u_n=g(n)$ rồi cm $g'(n)<0$ là xong.

_{Nhung ma no hope quaaaaa'}    

Cho hàm số $f(x)=\frac{e^x}{(x+1)^2}$

a) Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có duy nhất một nghiệm trong $[\frac{1}{2},1]$.

b) Chứng minh dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1, u_{n+1}=f(u_n), \forall n \in\mathbb{N}^*$ có giới hạn

Em cứ mũ o thoi, $^o$.

Tại em thấy nó không chuyên nghiệp lắm thưa anh :>