youknower

Mở rộng 1 tí:
Bài này có đúng với D bất kì thuộc phân giác trong/ngoài của góc A ?
Nếu như thay yếu tố "đường phân giác" bằng " 2 đường đẳng giác" thì nên xây dựng và phát biểu thế nào cho gọn đẹp

Gợi ý:

Gọi thêm $M$ là trung điểm $BC$ , $I$ là trực tâm tam giác $ABC$ rồi chứng minh 5 điểm $D,M,H,I,G$ đồng viên

Phát biểu lại bài toán thành bài toán sau chắc quen thuộc hơn

Tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AD, BE, CF. M$ trên $EF$ sao cho $AM$ vuông góc $EF$. Khi đó $(MDE)$ đi qua trung điểm $BE, (MDF)$ đi qua trung điểm $CF$

B1. Gọi $I$ là giao trung trực $AB, AC$ thì suy ra IA=IB=IC và ID, IE, IF vuông góc với các cạnh tương ứng

B2. Xét từng cặp tam giác vuông có chung cạnh huyền

ví dụ: AIE có cạnh huyền AI nên E thuộc đường tròn đường kính IA. 

Tương tự cho tam giác AIF

Nen A, E, F thuộc đtđk IA

 

Tuong tự cho IB, IC. Mà IA=IB=IC nên có dpcm

Gợi ý: Chứng minh trung điểm $EF$ là điểm cố định.

Sau đó tìm đường cố định chứa tâm $(AEF)$ thông qua tâm của $(MEF)$ và đường tròn đường kính $AM$

 

 

Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$

a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$

b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

 

 

 

Câu a. Đưa về việc chứng minh $MNQP$ ngoại tiếp(có 2 TH chính: tứ giác lồi ngoại tiếp - tứ giác lõm ngoại tiếp). chú ý là $D$ là giao điểm phân giác góc $M, N$ nên ta chứng minh $DP$ cũng là phân giác góc $P$

Chú ý: $BP$ cắt $CQ$ tại 1 điểm thuộc $(O)$, $BM$ cắt $CQ$ tại 1 điểm thuộc $(O)$ và $D$ nằm trên đường thẳng này

Ta có bài toán đơn giản hơn như sau: Gọi $I$ là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác nội tiếp $ABCD. M,N,P,Q$ là hình chiếu của $I$ lên các cạnh. Khi đó $MNPQ$ ngoại tiếp

Bài 3 có vẻ sự kết hợp cơ học của tính chất tứ giác điều hòa và mở rộng bài 5 VNTST 2009.

Điểm thú vị là cả 2 trường hợp đều đúng với bài toán ( $AB=AM$ hoặc $AC=AM$)

Cho $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O). M$ là trung điểm $BC$. Trên $AB, AC$ lấy $E, F$ sao cho $ME$ vuông góc $AC, MF$ vuông góc $AB$.

Chứng minh tâm của $(AEF)$ thuộc 1 đường cố định

$(APM)$ giao $AC$ tại $Q$, suy ra $AQMP$ là hình thang cân nên $MQ=AP=PI$ nên $\angle MAQ = \angle PAI$

Cho tam giác $ABC$ có 2 đường cao $BE, CF. (AEF)$ giao $(ABC)$ tại $D$

Chứng minh 2 góc $\angle BDE$ và $\angle CDF$ có chung đường phân giác

b.

Tâm đường tròn $(DMN)$ sẽ nằm trên $(T,R_{(O)})$ cố định

Em chuyển về được bài toán này mà nhìn muốn đui con mắt không ra 

 

Tam giác $ADC$ vuông tại $D$. $T \in DC$, $V$ là trung điểm $AC, O$ là giao của trung trực $AC$ và đt vuông góc với $DC$ tại $T$. Đt vuông góc với $OA$ cắt $(AC)$ tại $N$. Chứng minh đường thẳng qua $T$ vuông góc với $AN$ và trung trực của $DN$ và $AD$ đồng quy

Câu b:

Dùng cộng góc suy ra $(DMN)$ tiếp xúc BC tại D nên có tâm thuộc AD. Sau đó chứng minh hình bình hành là ra được dpcm

Bài em cắt nhỏ ra đúng là còn khó hơn bài toán gốc

$A_1, A_2$ đối xứng $A$ qua $d, d'$

$EA_1 \cap FA_2 =L$

 

Ta sẽ chứng minh $IEF$ tiếp xúc với đường tròn cố định Mixtilinear đối với đỉnh $T$ của $LEF $

Vậy cần chứng minh

• $IELF$ nội tiếp 
• $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $LEF$
• Tâm đường tròn Mixtilinear $T$ đối với đỉnh $L$ của $LEF$ cố định

$1)$

 

$LEI+LFI=(LEB+KEI)+(LFC+CFI)=(VAC+BEI)+(UAB+CFI)=(VAC+UAB)+(BEI+CFI)=(180-BAC)+(BAI+BIA)=180$

$\Rightarrow IELF$ nội tiếp

 

$2) $

 

$BC \cap AI = G$

Nếu $AEF < BAI $

Dễ chứng minh $BAI+IAC=AEF+AFE=BAC$ 

$\Rightarrow IAC<AFE$  và 4 góc đó $<90$ độ

 

Có $1=\frac{S_{BAG}}{S_{CAG}}=\frac{AB*\text{sin}BAG}{AC*\text{sin}CAG}=\frac{AE}{AF}*\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}$

 

$\Rightarrow \frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}CAG}=\frac{AF}{AE}=\frac{\text{sin}AEF}{\text{sin}AFE}$

 

Mà $\frac{\text{sin}BAG}{\text{sin}AEF} > 1, \frac{\text{sin}CAG}{\text{sin}AFE} <1$

 

$\Rightarrow$ vô lý

Tương tự với $AEF>BAI$ suy ra vô lý nên $AEF=BAI$ hay $A$ là tâm nội tiếp $LEF$

 

$3)$

 

Vì $A_1T\bot AE$ và $A_1K\bot AE$ nên $A_1, T, K$ thẳng hàng

Có $AA_1K=AEK=EAB=90-BAC$ $\Rightarrow$ T cố định

 

Vậy $(IEF)$ tiếp xúc (T,TA) cố định

 

Lên Hạ sĩ rực rỡ lun

Có lời giải đẹp hơn cho em xin nha 

Ý 2 có thể làm như sau: C/m giao điểm $S$ của $(B,BA)$ và $(C,CA)$ nhìn $A_{1}A_{2}$ 1 góc không đổi nên thuộc 1 đường tròn cố định $(T)$. Sau đó chứng minh $SIEF$ nội tiếp và $(IEF)$ tiếp xúc $(T)$ bằng cộng góc. Bài này khá khó ở tìm yếu tố cố định

 

Bài toán góc có thể phát biểu như sau: Cho tam giác $ABC$ có $M$ trên $BC. E$ thuộc $(ABM), F$ thuộc $(ACM)$ sao cho $ME$ tiếp xúc $(ACM), MF$ tiếp xúc $(ABM)$. Gọi $I$ là tâm $(MEF)$. Khi đó $(IEF)$ tiếp xúc $(O)$ khi và chỉ khi $M$ là trung điểm $BC$

Bài 18:

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ cạnh $a$ có $M$ trung điểm $BC. E, F$ là $2$ điểm bất kì trên $AB, AC$. Đặt $\frac{AE}{BE} =t$

Tính $\frac{CF}{AF}$ theo $a,d,t$ để $M$ cách $EF$ một khoảng $d$ cho trước 

Gợi ý: cắt gọn lại bài toán, đưa về cấu hình sau

Cho hình thang ABCD AB//CD. M bất kì trên AB. P trên MC, Q trên AD sao cho: DP, MQ vuông góc MC. Khi đó, AP song song CQ

Nếu thay bằng DP//MQ thì bài toán có đúng không

Cho $A$ là điểm cách đều $2$ đường thẳng song song $d$ và $d’. B$ di động trên $d, C$ di động trên $d’$ sao cho góc $BAC$ không đổi. Lấy $E, F$ sao cho $BE=BA, CF=CA$ và $AE$ vuông góc $AC, AF$ vuông góc $AB$.
Chứng minh tâm $I$ của $(AEF)$ thuộc 1 đường cố định và $(IEF)$ tiếp xúc 1 đường cố định