$u_{n}\geq u^{\frac{1}{\alpha}}_{1}\Rightarrow u_{n}>=(n-2)u^{\frac{1}{\alpha}}_1+u_{1}$
Do đó: $\lim u_{n}=+\infty$. Suy ra tồn tại $N_{0}\in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n>N_{0}$ thì $u_{n}>1$
Đặt $c=\min\left \{ \frac{1}{4};a_{1};\frac{a_{2}}{2};...;\frac{a_{N_{0}}}{N_{0}} \right \}\Rightarrow \frac{a_{n}}{n}>c>0 \forall n\leq N_{0}$.
Ta chứng minh $a_{n}>nc, \forall n\geq N_{0}$ (1) bằng quy nạp.
Thật vậy:
Với $n=N_{0}$ thì (1) hiển nhiên đúng.
Giả sử (1) đúng đến $n=k>N_{0}$ ta có
$a^{2}_{k+1}\geq a^{2}_{n+1}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geq(1+2+...+k).c=\frac{k(k+1)}{2}.c=(k+1)c\frac{k}{2}>[(k+1)c]^2 \Rightarrow a_{k+1}>(k+1)c\Leftrightarrow \frac{a_{k+1}}{k+1}>c$
Vậy (1) đúng với $n=k+1$
Vậy (1) được chứng minh