Sprouts

Tìm hàm $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $f(a)f(a+b)-ab$ là số chính phương với mọi a,b nguyên dương.

Cho $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha > 2$, dãy số $(a_n)\subset \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:\

$a^{\alpha}_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}, \forall n\geq 2$

Chứng minh: dãy $\left ( \frac{a_n}{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn, $lim\frac{a_n}{n}=0$

Cho $\left \{ a_{i} \right \}$ xác định bởi $a_{1}=1, a_{2}=-1, a_{n}=-a_{n-1}-2a_{n-2} (n\geq 3)$.

Tính $S_{n}=2a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^{2}$ với n=2017

Chứng minh A=$\frac{1}{25}\sum_{i=0}^{2001}\left \lfloor \frac{2^{k}}{25} \right \rfloor$ là số nguyên.

Rút gọn biểu thức sau: A=$\left [ \frac{2^{1}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{100}}{3} \right ]$

Cho số nguyên dương k, $n=16^{3^{k}}-4^{3^{k}}+1$. Chứng minh: $n|(2^{n-1}-1)$

Cho $0\leq k\leq n$. Chứng minh: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}.C_{n}^{k}.C_{n-k}^{[\frac{n-k}{2}]}=C_{2n+1}^{n}$

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Điểm M nằm trong tam giác đó. Đường thẳng qua H vuông góc với AM cắt BC tại $A_{1}$. Đường thẳng qua H vuông góc với BM cắt CA tại $B_{1}$. Đường thẳng qua H vuông góc với CM cắt AB tại $C_{1}$ . Chứng minh ba điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ thẳng hàng.

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương: $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=3a$

Tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1