Sprouts

cho$\alpha$ là số thực và dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} & x_{0}=0,x_{1}=1 \\  &(k+1)x_{k+2}=\alpha x_{k+1}+(k-2022)x_{k}\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị $\alpha$ lớn nhất sao cho $x_{2023}=0$

Tìm hàm $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $f(a)f(a+b)-ab$ là số chính phương với mọi a,b nguyên dương.

Cho số thực $\alpha$ và xét dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}=1, x_{3}=0$;

$x_{n+3}=\frac{x^2_{n+2}+x^2_{n+1}+x^2_{n}}{6}+\alpha,\forall n\in \mathbb{N^{*}}$.

Tìm số thực $\alpha$ lớn nhất sao cho dãy trên hội tụ.

Nguồn: Bắc Ninh TST 2020-2021

Cho số $\alpha \in (1;2)$. Xét dãy số thực dương $(u_{n})$ xác định bởi

$u^{\alpha}_{n}\geq u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}$

Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c> 0$ sao cho $u_{n}\geq cn \forall n$

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=\frac{1}{2}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n}+1 \forall n \in\mathbb{N^{*}}$

Chứng minh: $x_{n}\leq \frac{2n-1}{2n}$. Tìm $lim(x_{n+1}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{3}...x_{n}^{n})$