Tan Phuc Nguyen

Ta có $a+b+c=\frac{1}{abc} \Rightarrow abc(a+b+c)=1$.

Do đó $1+b^2c^2 = abc(a+b+c) + b^2c^2 = bc(a+b)(a+c)$.

Tương tự, ta có $1+a^2c^2 = ac(a+b)(b+c), 1+a^2b^2 = ab(b+c)(a+c)$.

Suy ra

$\sqrt{\frac{(1+b^2c^2)(1+a^2c^2)}{c^2+a^2b^2c^2}} = \sqrt{\frac{(1+b^2c^2)(1+a^2c^2)}{c^2(1+a^2b^2)}} = \sqrt{\frac{bc(a+b)(a+c)ac(a+b)(b+c)}{c^2ab(a+c)(b+c)}} = \sqrt{(a+b)^2} = a+b$ (đpcm).

Dễ chứng minh $a^5-a \vdots 30$. Khi đó ta có $m^5-m$ và $n^5-n$ chia hết cho $30$.

Suy ra, $n(m^5-m) - m(n^5-n) \vdots 30$

Hay $m^5n-mn - n^5m+nm \vdots 30$

Hay $m^5n- n^5m \vdots 30$

Vậy $mn(m^4 -n^4) \vdots 30$ (đpcm)

Bài này còn có thể giải bằng cách dùng các bất đảng thức cổ điển không bạn? 

Bài 1:

ĐK: $x \geq 1$

Phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{5x-1} = \sqrt{3x-2} + \sqrt{x-1}$

Bình phương hai vế ta có: $5x-1 = 3x - 2 + x - 1 + 2 \sqrt{(3x-2)(x-1)} \Leftrightarrow  x+2 = 2 \sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

Lại bình phương hai vế phương trình và rút gọn, ta có: $11x^2 -  24x + 4 = 0$

Giải phương trình trên ta tìm được $x = 2$ (nhận) hoặc $x = \frac{2}{11}$ (loại vì $x \geq 1$).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

Bài 2: Bạn giải tương tự nhé  . 

Theo giả thiết ta có phương trình Pythagore: $a^2 + b^2 = c^2$.

Suy ra $b^2 = c^2 - a^2$

Mặt khác $(a, 3) = (c, 3) = 1$