NamAnhk4

Cho các số thực $a_{1},a_{2}, a_{3},..., a_{n}$. Gọi a là số trung bình cộng của $a_{1},a_{2}, a_{3},..., a_{n}$ ($a=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}$).

Chứng Minh:Có ít nhất một trong các số $a_{1},a_{2}, a_{3},..., a_{n}$ lớn hơn hoặc bằng a.

Giả sử ngược lại, với mọi i thì $a>a_{i}$

khi đó $na> a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ vô lý

Làm sao để có công thức này mà không dùng định lý sin?

sin thực chất là tỷ số thôi bác. Công thức này hoàn toàn có thể chứng minh bằng công thức diện tích và tam giác đồng dạng ở CT lớp 9.

 

Còn post này thì lẽ ra phải để ở topic hình học phẳng chứ, với lại, việc chứng minh lại SGK có ý nghĩa gì không vậy bác chủ post

anh nói phải, vì lớp 7 chưa học khai triển ${(a + b)^2}$ nên sgk mới chứng minh  bằng cắt giấy.

$(a+b)^{2}$ bản chất là $(a+b)(a+b)$ không phải là điều đáng bàn ở đây

Cho tam giác ABC vuông ở A.

Dựng một hình vuông cạnh (AB+AC), dựng 4 tam giác vuông qua bốn góc vuông của hình vuông, mỗi tam giác đều có cạnh góc vuông là AB và AC; sao cho các cạnh góc vuông của 4 tam giác khít với chu vi hình vuông như hình vẽ.

${S_{ADEF}} = {(AB + AC)^2};{S_{ADEF}} = B{C^2} + 4.\frac{1}{2}AB.AC$

$ \Rightarrow {(AB + AC)^2} = B{C^2} + 4.\frac{1}{2}AB.AC.$

$ \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}(Q.E.D.)$ *

 

2021-09-19_193405.png

*Định lý Pythagoras còn gọi là định lý Babylon, thực tế ghi chép về cái gọi là "định lý Pythagoras" đã có trước khi Pythagoras sinh ra ít nhất 1000 năm.

Bàn cho vui 1 tí 

- Nếu bỏ hết chương trình tiểu học, chỉ tính lúc học lớp 6 trở đi thì định lý Pytagore học ở lớp 7 và cách tính diện tích lại học được ở lớp 8, nên hầu như các em lớp 7 cũng không xài được cách này

Theo SGK lớp 12, thì qui ước chỉ dùng số mũ khác số nguyên cho các số thực dương nhé.

Và bài đố vui này cũng đã xuất hiện trong SGK rồi

Q

 

Nếu như vậy sao không chứng minh bằng quy nạp rằng khi giả sử đúng đến $a$ và chứng mình đúng đến $a+1$ thì $(a+1).1=a.1+1.1=a+1$ thỏa mãn? 

Qui nạp chỉ đúng cho số nguyên thôi bác.

 

Với cả em thấy những dạng bài này nên để vào toán đại cương để bàn luận chuyên sâu. Còn để trong chương trình THPT thế này thì khả năng ứng dụng bằng 0

1. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a+bc)^{2}+(b+ca)^{2}+(c+ab)^{2}\geq \sqrt{2} (a+b)(b+c)(c+a)$

 

2.Tìm tất cả giá trị $n$ sao cho đa thức $x^{n} + 4$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức khác hằng số với hệ số nguyên

 

3. Cho tam giác $ABC$, biết rằng trung tuyến $AM$ có độ dài bằng $1$ trong $2$ cạnh kề góc $A$ của tam giác $ABC$ và $(d)$ là đường thẳng qua $M$ song song với đường thẳng chứa cạnh này. Trên $AC$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(ACM)$ lấy lần lượt 2 điểm $N,D$ sao cho $NB=NC, DB=DC. (d)$ giao $(NMC)$ tại điểm thứ 2 $K. AM$ giao $(DMC)$ tại điểm thứ 2 $I. CD$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $E$ khác $C$. 

Chứng minh đường thẳng nối trung điểm $AE, IK$ đi qua $C$

 

4. Cho $2021$ thành phố, biết rằng từ $1$ thành phố bất kì có thể bay sang đúng $n$ thành phố khác (đường bay là 2 chiều). Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho: Để di chuyển từ thành phố $A$ bất kì sang $1$ thành phố $B$ khác, chỉ cần trung chuyển không quá $2$ thành phố khác

 

5. Sau khi cân $11$ con gà, bác nông dân có nhận xét sau:

- Luôn có thể chia $10$ con gà bất kì thành hai nhóm, mỗi nhóm $5$ con, sao cho tổng cân nặng ở mỗi nhóm bằng nhau

- Tổng cân nặng của cả đàn gà là $759$.

Tính cân nặng của mỗi con gà, biết rằng các cân nặng này đều là số tự nhiên.

Nếu câu số cho hai số nguyên dương $y,z$ bất kì thoả mãn $3z^3>2y^2$ thì $x=3z^3-2y^2$ thoả mã

Sorry mình gõ nhầm

Ngày 1

1. Cho 2 dãy số $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa:

$a_{1} = 1, b_{1} = 0$

$a_{n+1}=2a_{n}b_{n}$

$b_{n+1}=b_{n}^{2} - a_{n}^{2}$

Tìm giới hạn của $(a_{n}+b_{n})$

 

2. Cho $2021$ thẻ có kích thước như nhau được đánh số từ $1$ đến $2021$. Hỏi có thể chia số thẻ này thành tối đa bao nhiêu phần để mỗi phần thỏa 2 điều kiện sau:

- Mỗi phần có tối thiểu 2 thẻ

- Mỗi phần có ít nhất 2 thẻ sao cho tổng hoặc hiệu của chúng là 1 số chính phương khác 1?

 

3. Tìm các bộ $(x,y,z)$ nguyên dương thỏa mãn: $x^{2} + 2y^{2} = 3z^{3}$

 

4. Cho $A, B, C$ là 3 điểm thuộc đường tròn $(O)$ tâm $O$ có $O, B, C$ cố định. $A$ đi động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn. $AD, BE, CF$ là 3 đường cao của tam giác $ ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $EF$ cắt đường tròn đường kính $AB, AC$ tại $M,N$ khác A.

a. Chứng minh khi $A$ thay đổi, tồn tại $1$ điểm $T$ cố định luôn cách đều $M, N$.

b. Chứng minh tâm của đường tròn $(DMN)$ nằm trên 1 đường tròn cố định

 

P/s: Hôm qua mình vội quá đánh nhầm đề câu 3, 4b nhé ( đã chỉnh lại)

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày 2

 

5. Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:

$T= \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$ chỉ có thể nhận tối đa 2 giá trị nguyên. Tìm các bộ $(x,y,z)$ để $T$ đạt giá trị tại 2 giá trị nguyên này

 

6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(f(y)(x + 1)) = y(f(x) + 1) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.

 

7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O. A$ đối xứng $A'$ qua đường thẳng $BC.$ Trên đường thẳng $AO$, lấy 2 điểm $A_{b}, A_{c}$ sao cho $BA_{b}=BA;CA_{c}=CA$. Kí hiệu tam giác $A'A_{b}A_{c}$ là $T_{a}$ có $O_{a}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Xác định tương tự cho 2 tam giác $T_{b}, T_{c}$  và 2 điểm $O_{b}, O_{c}$

a. Chứng minh 3 đường thẳng $AO_{a} ,BO_{b}, CO_{c} $ đồng quy tại 1 điểm

b. Chứng minh 3 đường thẳng Euler của 3 tam giác $T_{a},T_{b}, T_{c}$ đồng quy tại 1 điểm

 

8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:

Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\overline{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.