Forthewin

Day 1 (7/9/2021)

Bài 1(5đ).Cho $a, b$ là $2$ số nguyên dương

Xét dãy số $(u_{n})$:

$$u_{1}=a; u_{n+1}=\sqrt{b+\sqrt{u_{n}}}$$

a.Chứng minh tồn tại vô số bộ $(a,b)$ sao cho $(u_{n})$ là dãy hằng

b.Đặt $t_{n}=u_{n+1}-u_{n}$. Tính giới hạn của dãy $(t_{1} t_{2}… t_{n})$ theo $a, b$

Bài 2(5đ). Cho $a,b\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z^+}$. Chứng minh $A=b^{n-1}a(a+b)(a+2b)...[a+(n-1)b]$ chia hết cho $n!$

Bài 3(5đ). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là $2$ điểm trên mặt phẳng thỏa mãn: $MD//AB, ND//AC$ và MD vuông góc  MB, ND vuông góc NC. Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $MN$ qua $MB, NC$. Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{1}$ với đường tròn $(BDM)$ và $Q$ là giao điểm thứ $2$ của $d_{2}$ với đường tròn $(CDN)$

a. Chứng minh rằng $MN+PQ = MP+NQ$

b. Chứng minh trung điểm $MN$ thay đổi trên $1$ đường thẳng cố định

Bài 4(5đ). Tại đại hội thiếu nhi quốc tế, có 2021 bạn thiếu nhi tới từ các nước tham gia 1 trò chơi như sau: Mỗi bạn nhận 1 số kẹo khác nhau từ 1 đến 2021 viên kẹo, sau đó các bạn này ngồi vào 1 bàn tròn. Lượt chơi bắt đầu ở 1 bạn A bất kì, bạn đó sẽ gom số viên kẹo ở 2 bạn kế bên mình (không bao gồm bạn đó) thành 1 phần chung:

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số chẵn, thì bạn này sẽ chia lại số kẹo trên thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

- Nếu chênh lệch của 2 bạn này là 1 số lẻ, thì bạn này sẽ lấy 1 viên kẹo từ phần chung và bỏ vào phần của mình, sau đó chia lại số kẹo còn lại thành 2 phần bằng nhau cho 2 bạn này.

Sau đó, bạn A kết thúc lượt chơi và bạn phía bên phải bắt đầu lượt chơi của mình. Trò chơi sẽ kết thúc khi số kẹo của các bạn là bằng nhau.

Hãy tìm các cách sắp xếp 2021 bạn thiếu nhi này trong 2 trường hợp số lượt chơi là ít nhất và nhiều nhất