MiTiBAM

Cho $A,D$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A'B,AB$ $(A'B=2R)$. Dựng về một phía với $A'B$ hai nửa đường tròn $(C),(C')$ có các đường kính lần lượt là $AB,A'B$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn điều kiện $\overline{AB}=3\overline{AI}$. Kẻ đường thẳng bất kỳ qua $I$ cắt $(C),(C')$ lần lượt tại các điểm $M,M'$. Khi đó $M$ không trùng $A$. Chứng minh rằng

a) $D{{A}^{2}}=DI\cdot DA'$. 

b) $AM,BM$ lần lượt là phân giác trong và ngoài của góc $\widehat{IMA'}$. 

c)  $A,A',M,M'$ thuộc một đường tròn.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn 

${{x}^{2002}}+{{y}^{2002}}={{2003}^{2011}}({{x}^{4}}+{{y}^{4}}).$

Chứng minh rằng với mọi $\alpha$ ta có

$\sqrt{17}\le\sqrt{\cos^2\alpha+4\cos\alpha+6}+\sqrt{\cos^2\alpha-2\cos\alpha+3}\le\sqrt{2}+\sqrt{11}$.

Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại điểm $M$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ tại điểm $D,$ đường thẳng $BI$ cắt $CA$ tại điểm $N$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIA$ tại điểm $E,$ đường thẳng $CI$ cắt $AB$ tại điểm $P$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ tại điểm $F$ (các điểm $D,E,F$ đều khác điểm $I$).

 

a) Chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $DEF$. 

 

b) Gọi ${{d}_{a}}$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc $NP,$ ${{d}_{b}}$ là đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc $MP,$ ${{d}_{c}}$ là đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc $MN$. Chứng minh các đường thẳng ${{d}_{a}},{{d}_{b}},{{d}_{c}}$ đồng quy.

Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=3abc$ (1)

 

a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa (1).

 

b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.