Đến nội dung


narutosasukevjppro

Đăng ký: 04-10-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 10:48
*****

#731268 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong Hôm qua, 20:39

Bài 41. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $2^{x}+1=5^{y}+2^{z}$




#731186 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 16-10-2021 - 21:20

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$




#731163 Tìm các số nguyên $x,y$ sao cho $x^2 - 2x = 27y^3$

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 15-10-2021 - 10:48

e cộng 1 vào thử, thì sẽ được $(x-1)^2=(3y+1)(9y^2-3y+1)$, theo tính chất quen thuộc thì $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, 2 thừa số này hoặc là có chung ước nguyên tố là 3 hoặc là nguyên tố cùng nhau. Nhưng rõ ràng $3y+1$ không chia hết cho 3 nên chỉ rơi vào tính huống còn lại tức $(3y+1,9y^2-3y+1)=1$. Suy ra $9y^{2}-3y+1$ là số chính phương. Tới đây e kẹp giữa $9y^{2}$ với $(3y+1)^{2}$ là được




#731124 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 13-10-2021 - 06:22

Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé

UwU bài 8:

Xét các ước nguyên tố thì ta sẽ chứng minh được $a=b$

Đến đây bài toán dễ rồi. Ta sẽ có nghiệm là $a=b=1$




#731114 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 12-10-2021 - 06:14

Bài 25.

Vì $\displaystyle b+1\vdots a$ nên ta đặt $\displaystyle b+1=ka$. Tương tự đặt $\displaystyle a^{3} -1=lb=l( ka-1) =lka-l$ và dẫn tới $\displaystyle a^{3} =lka-( l-1)$ tức là $ $$\displaystyle l-1\vdots a$. Đặt $\displaystyle l-1=ma\rightarrow l=ma+1$. Bây giờ với 

$a^{3} =( ma+1) ka-ma\\$
$\rightarrow a^{2} =k( ma+1) -m=0\\$
$\rightarrow a^{2} -mak+m-k=0$
Bây giờ coi phương trình trên là một phương trình bậc hai theo ẩn $\displaystyle a$ và các tham số $\displaystyle m,k$. Xét 
$\Delta =m^{2} k^{2} +4k-4m$
  • Nếu $\displaystyle m< k$ thì $\displaystyle 4m< 4k$ nên $\displaystyle \Delta  >m^{2} k^{2}$. Mặt khác, ta mong muốn $\displaystyle \Delta < ( mk+2)^{2}$. Khai triển ra ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} +4mk+4 >m^{2} k^{2} +4k-4m$. Tức $\displaystyle 4mk+4-4k+4m >0\rightarrow mk-k+m-1 >-2$ hay $\displaystyle ( m-1)( k+1)  >-2$ .Vậy với $\displaystyle m\neq 0$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk+1)^{2}$ dẫn tới $\displaystyle -4m+4k=2mk+1$ là một điều vô lí vì hai vế khác tính chẵn lẻ. \ Suy ra $\displaystyle m=0$ và ta có được $\displaystyle a=k^{2}$ và $\displaystyle b=ka-1=k^{3} -1$. Ta được một họ nghiệm đầu tiên là $\displaystyle \left( s ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$
  • Tiếp tục với $\displaystyle m >k$ thì ta lại có $\displaystyle \Delta < ( mk)^{2}$. Mặt khác ta mong muốn $\displaystyle \Delta  >( mk-2)^{2}$. Khai triển tương tự ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} -4mk+4< m^{2} k^{2} +4k-4m\rightarrow 4k-4m-4+4mk >0$ hay $\displaystyle k-m-1+mk >0$ hay $\displaystyle ( k-1)( m+1)  >0$. \ Phụ thuộc vào dấu của $\displaystyle k-1$ nên nếu $\displaystyle k\neq 1$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk-1)^{2}$ hay $\displaystyle -4m+4k=-2mk+1$ khác tính chẵn lẻ. Nên $\displaystyle k=1$. Thay vào ta có $\displaystyle a^{2} -ma+m-1=0$. Tính $\displaystyle a$ theo $\displaystyle m$ bằng công thức nghiệm cho ta $\displaystyle a=m-1$ và khi đó chỉ cần chọn $\displaystyle b=m-2$ là ổn. Một họ nghiệm khác của phương trình là $\displaystyle ( s,s-1)$ với $\displaystyle s\geqslant 3$
  • Với $\displaystyle m=k$ thì chọn họ nghiệm là $\displaystyle \left( s^{2} ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$ 



#731113 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 12-10-2021 - 05:57

Bài 16 mình xin phép gửi luôn link đề trên aops

https://artofproblem...h409108p2288476




#731112 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 12-10-2021 - 05:56

Bài 26. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức để kẹp, một số luôn lớn hơn hoặc bằng tích các chữ số của nó, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nó là số có 2 chữ số hoặc 1 chữ số.

Bài 38. Ta giới hạn miền, trước hết đặt $\displaystyle a=\left\lfloor \sqrt[4]{x}\right\rfloor ,b=\left\{\sqrt[4]{x}\right\} \in \{0,1\}$. Đưa về $\displaystyle 1\geqslant b=\sqrt[4]{8a+3} -a >0$, tới đây dễ dàng tìm được $a$




#731103 Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 11-10-2021 - 14:17

à e nhầm rồi :") sorry ạ, để tối e xem lại thử, cái của e chỉ đúng nếu hệ số cao nhất của 2 đa thức là 1 nên sai ạ




#731092 $2^x=x+1$

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 11-10-2021 - 06:24

e nhớ bđt bernoulli xảy ra khi mũ =1 a ạ




#731068 Cho ngũ giác $ABCDE$ có $AB=BC=CD$ và $\widehat...

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 09-10-2021 - 21:54

Anh cho em xin đề với  :D

https://www.facebook...45256012697276/




#731056 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 09-10-2021 - 09:36

Bài 6. Xét $\displaystyle p=2$ thì $\displaystyle x^{4} +4=2y^{4}$. Nếu $\displaystyle x$ chẵn thì suy ra bên vế trái sẽ đồng dư với 4 theo modulo 16. Ngoài ra $\displaystyle y$ có thể rơi vào hai trường hợp, nếu $\displaystyle y$ chẵn thì sai ngay vì $\displaystyle 2y^{4}$ chia hết cho 16 trong khi vế trái lại không thỏa. Còn nếu $\displaystyle y$ lẻ thì $\displaystyle 2y^{4} \equiv 2(\bmod 16)$. Vậy $\displaystyle p$ chỉ có thể là số lẻ, suy ra $\displaystyle x,y$ phải cùng lẻ, vì nếu $\displaystyle x$ chẵn thì $\displaystyle y$ phải chẵn dẫn đến modulo 16 của 2 vế khác nhau. 

 
Phân tích 
 
$x^{4} +4=\left( x^{2} -2x+2\right)\left( x^{2} +2x+2\right) =py^{4}$
Ta gọi $\displaystyle d=\left( x^{2} -2x+2,x^{2} +2x+2\right)$. Ta có cả hai số này đều chẵn, nhưng mà $\displaystyle d$ phải lẻ vì vế phải là các số lẻ. Do đó $\displaystyle d|x$ vì $\displaystyle d|4x$ nhưng $\displaystyle d$ lẻ nên không thể là ước của $\displaystyle 4$. Mặt khác $\displaystyle d|x^{2} -2x+2$ nên $\displaystyle d|2$ dẫn tới $\displaystyle d=1$. Từ đây ta có thể đặt 
 
$\displaystyle x^{2} -2x+2=a^{4} ,x^{2} +2x+2=pb^{4}$
 
Ta có $\displaystyle ( x-1)^{2} +1=a^{4}$ và $\displaystyle ( x+1)^{2} +1=pb^{4}$. Ta sử dụng phương phép kẹp để suy ra nếu $\displaystyle x\geqslant 0$ thì $\displaystyle x^{2} \leqslant ( x-1)^{2} +1< ( x+1)^{2}$ và $\displaystyle ( x-1)^{2} +1$ là số chính phương nên chỉ có $\displaystyle x=1$ thỏa mãn. Nếu $\displaystyle x$ âm thì $\displaystyle x=-1$ thỏa, ta cũng lập luận tương tự. Vậy suy ra $\displaystyle p=5$ là trường hợp duy nhất để thỏa mãn yêu cầu đề bài.



#731037 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 08-10-2021 - 09:35

Bài 24.

Ta có $\displaystyle b\left( a^{2} b+b\right) \vdots ab^{2} +9$ hay $\displaystyle b^{2} a^{2} +b\vdots ab^{2} +9$. Suy ra $\displaystyle a\left( a b^{2} +9\right) +b^{2} -9a\vdots ab^{2} +9$ tức là $\displaystyle b^{2} -9a\vdots ab^{2} +9$.

 
Ta xét các trường hợp sau : 
 
1 $\displaystyle b^{2} =9a$. Nên $\displaystyle b\vdots 9$. Đặt $\displaystyle b=9t$ thì $\displaystyle 81t^{2} =9a\rightarrow a=9t^{2}$. Họ nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( a,b) =\left( 9t^{2} ,9t\right)$. 
 
2 $\displaystyle b^{2}  >9a$. thì $\displaystyle b^{2} -9a\geqslant ab^{2} +9$ hay $\displaystyle b^{2} \geqslant ab^{2} +9+9a$. Vì $\displaystyle a$ nguyên dương nên $\displaystyle ab^{2}  >b^{2}$ là một điều vô lí. 
 
3 $\displaystyle b^{2} < 9a$. Thì $\displaystyle 9a-b^{2}  >ab^{2} +9$. Tại sao lại có đánh giá như vậy ? Chú ý rằng cả $\displaystyle a,b$ đều là các số nguyên dương. $\displaystyle b^{2} -9a$ là một bội của $\displaystyle ab^{2} +9$. Tức là $\displaystyle b^{2} -9a$ không nhất thiết phải dương do đó ta chỉ việc lấy $\displaystyle |b^{2} -9a|$ thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng $\displaystyle ab^{2} +9$. 
 
Quay trở lại ta có $\displaystyle 9a-b^{2}  >ab^{2} +9$ hay $\displaystyle \frac{9}{b^{2}} =\frac{a+1}{a-1}  >1$ nên $\displaystyle 9 >b^{2}$. Hay $\displaystyle b\in \{1,2\}$. 
 
Ta thay vào và tiếp tục giải phương trình ước số để tìm $\displaystyle a$.



#731031 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 07-10-2021 - 19:44

Bài 27. Số nghiệm của phương trình chính hệ số của $x^{n}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa sau : $\displaystyle \frac{1}{( 1-x)\left( 1-x^{2}\right)\left( 1-x^{3}\right)}$




#731030 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 07-10-2021 - 19:40

Bài 4 khá đơn giản:

Giả sử $p^3 +\frac{p-1}{2}=n(n+1)$ với $ n \in \mathbb{N} (*)$

$(*) \leftrightarrow 2p^3+p-1=2n(n+1).\text{VP} \vdots 4 \rightarrow 2p^3+p=p(2p^2+1) \equiv 1 \pmod 4$

Suy ra: $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1$ hoặc $3 \pmod 4$ Trường hợp $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1 \pmod 4$ vô lí

Vậy $p \equiv  2p^2+1 \equiv 3 \pmod 4 \rightarrow p=4k+3 (k \in \mathbb{N})$

Ta phát biểu 1 bổ đề: Nếu các số nguyên $x,y$ và $p \equiv 3 \pmod 4$ thỏa mãn $p \mid x^2+y^2$ thì:

$$p \mid x; p \mid y$$

$(*) \leftrightarrow p(2p^2+1)=(n+1)^2+n^2 \rightarrow (n+1)^2+n^2 \vdots p$

Áp dụng bổ đề thì ta được: $p \mid n, p \mid (n+1)$ mà ta có: $\text{gcd}(n+1,n)=1$ 

Điều này là điều vô lí. Vậy ta có đpcm

 

uh chuẩn luôn đó e

ko thì có một cách khác để sư dụng bổ đề 4k+3 là nhân 4 vào cả 2 vế




#731027 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 07-10-2021 - 16:29

Bài 22. 

Trường hợp $\displaystyle p=2$ thì mọi số $\displaystyle x,y$ sao cho $\displaystyle x+y$ là lũy thừa của 2 đều thỏa

 
Trường hợp $\displaystyle p >2$. 
 
Nếu cả $\displaystyle x,y$ đều là các lũy thừa của $\displaystyle p$ thì đặt $\displaystyle x=p^{\alpha }$ còn $\displaystyle y=p^{\beta }$, không giảm tổng quát $\displaystyle v_{p}( y) \geqslant v_{p}( x)$. Khi đó 
 
$p^{\alpha } +p^{\beta ( p-1)} =p^{\alpha }\left( p^{\beta ( p-1) -\alpha } +1\right)$
 
không thể là một lũy thừa của $\displaystyle p$. Vậy $\displaystyle y$ không chia hết cho $\displaystyle p$ kéo theo $\displaystyle x$ không chia hết cho $\displaystyle p$.Theo định lý Fermat nhỏ ta có $\displaystyle x^{p-1} \equiv y^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ nên $\displaystyle x\equiv y\equiv -1(\bmod p)$. Nếu $\displaystyle x=y$ thì $\displaystyle x+x^{p-1} =x\left( x^{p-2} +1\right) \equiv 2x(\bmod p)$ nên $\displaystyle p$ chẵn → loại
 
Do đó $\displaystyle x\neq y$. Không giảm tổng quát, xét $\displaystyle x >y$ thì $\displaystyle x^{p-1} +y\vdots x+y^{p-1}$.Suy ra 
 
$x^{p-1} +y\equiv \left( -y^{p-1}\right)^{p-1} +y\vdots x+y^{p-1}$
 
Hay $\displaystyle y^{p( p-2)} +1\vdots x+y^{p-1}$. Theo bổ đề LTE ta có 
 
$v_{p}\left( y^{p( p-2)} +1\right) =v_{p}( y+1) +v_{p}( p( p-2)) =v_{p}( y+1) +1=v_{p}( p( y+1))$
 
Tức là $\displaystyle y^{p( p-2)} +1|p( y+1)$. Ngoài ra $\displaystyle y+1\geqslant p$ và $\displaystyle x\geqslant y+1$ do $\displaystyle y\equiv -1(\bmod p)$ nên ta sẽ đánh giá như sau 
 
$y^{p-1} +y\leqslant p( y+1) -1\rightarrow y^{p-1} +p-1\leqslant p( y+1) -1\Longrightarrow y^{p-1} \leqslant py$
 
Tương đương với $\displaystyle ( p-1)^{p-2} \leqslant y^{p-2} \leqslant p$.Chỉ xảy ra khi $\displaystyle p=3$ và khi đó xét $\displaystyle y^{3} +1|3( y+1)$. Tức $\displaystyle 3y+3\geqslant y^{3} +1\rightarrow 3y+2\geqslant y^{3}$. Điều này chỉ xảy ra với $\displaystyle y=2$, còn kể từ $\displaystyle y >2$ thì $\displaystyle 3y+2< y^{3}$. Vậy $\displaystyle p=3$ còn $\displaystyle y=2$. Vậy ta cần tìm $\displaystyle x$ sao cho $\displaystyle x^{2} +2$ và $\displaystyle x+4$ là lũy thừa của $\displaystyle 3$