Đến nội dung


narutosasukevjppro

Đăng ký: 04-10-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 06:45
*****

#733840 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 30-06-2022 - 21:45

288935713_714508702992384_89793464842715bài bài này đăng vui thôi :))




#733839 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 30-06-2022 - 21:25

Bài 21. JBMO 2022 mới vừa thi xong : Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$ và chân đường cao đỉnh $A$ là $D$ thỏa mãn $HA=HD$. Dựng tiếp tuyến $l$ của $HBC$ sao cho $l$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $M,N$ là trung điểm $HB,HC$. Chứng minh $SM||TN$.




#733814 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 28-06-2022 - 07:09

Bài toán 20. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. Đường tròn bàng tiếp góc $B,C$ lần lượt tiếp xúc với $AC,AB$ tại $X,Y$. Gọi $AD,AE$ là đường cao và đường phân giác của tam giác $ABC$. Chứng minh $DE$song song với tiếp tuyến tại $I$ của $(IDE)$.




#733809 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 27-06-2022 - 17:20

Bài toán 19. Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp và trực tâm lần lượt là $O,H$. $M$ bất kỳ trên $(O)$, $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $BC$. $P$ là giao thứ hai của $AM$ và $(OMN)$. Chứng minh $HN$ đi qua trực tâm của $AOP$




#733808 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 27-06-2022 - 17:19

289456753_807531633960730_70920208187464

ý b bài 18 khá vui còn ý a thì a làm lâu rồi( mn check xem thử đúng chưa ạ)

289028916_608514667077463_81687024629050




#733807 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 27-06-2022 - 15:55

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

289039153_1144348172778133_6038251029270lời giải của mình, cũng dùng bổ đề trên để xử lí




#733794 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 25-06-2022 - 16:47

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$

Xét phương trình $\displaystyle 2^{n} +n=m!$, bây giờ, ta sẽ thử từng trường hợp trước để dự đoán. Ta sẽ xét $\displaystyle v_{2}$ của cả hai vế. Kiểm tra trực tiếp một số trường hợp ta nhận thấy chỉ có $\displaystyle m=3,n=2$ duy nhất thỏa mãn. Trường hợp $\displaystyle n$ là lũy thừa của 2, ta đặt $\displaystyle n=2^{a}$. Khi đó $\displaystyle 2^{n} +n=2^{x} +2^{y}$. Xét $\displaystyle m\leqslant 7$ thì không có trường hợp nào thỏa trừ $\displaystyle m=3$. Vậy xét $\displaystyle m >7$ thì khi đó $\displaystyle 7|m!$. Xét modulo 7 thì $\displaystyle 2^{x} +2^{y} \equiv 7( mod\ 7)$ và điều này là vô lí do $\displaystyle 2^{x} \equiv 1,2,4(\bmod 7)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n=2^{a} .k$ trong đó $\displaystyle k$ lẻ. Vậy $\displaystyle v_{2}\left( 2^{n} +n\right) =a$. Bây giờ, nếu $\displaystyle k\leqslant m$ thì ta có $\displaystyle m!\vdots k$ nên $\displaystyle 2^{n} \vdots k$, mâu thuẫn với tính lẻ của $\displaystyle k$. Tiếp theo, xét $\displaystyle m\leqslant k$ thì khi đó $\displaystyle \frac{m}{2} -1< v_{2}( m!) =\sum _{i\rightarrow \infty }\left\lfloor \frac{m}{2^{i}}\right\rfloor < \frac{m-1}{2-1} =m-1< m$ cho nên ta có $\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \leqslant a< m$ dẫn tới $\displaystyle 2^{a} < 2^{m}$ và ta có $\displaystyle 2^{n} =2^{2^{a} .k} \geqslant 2^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor m} \geqslant m^{m}  >m!$ đúng vì $\displaystyle m\geqslant 7$. Vậy ta có tất cả các nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( m,n) =( 3,2)$




#733792 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 25-06-2022 - 11:43

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  




#733791 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 25-06-2022 - 11:39

bài toán 15

287858900_493738425899987_68405367446383




#733790 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 25-06-2022 - 11:24

287989313_572231424424912_90153844551603Bài toán 16




#733788 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 25-06-2022 - 08:54

lòi giải bài 14

288299106_751655379355369_21205432297160




#733775 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-06-2022 - 06:38

Mô hình bài toán 5 rất đẹp và trong lúc làm thì mình có rút ra được 1 số hệ quả như sau đây 

Hệ quả 1. Gọi $\displaystyle O$ là tâm của $\displaystyle BYZC$. $\displaystyle JO$ cắt $\displaystyle IK$ tại $\displaystyle G$ thì $\displaystyle A,T,G$ thẳng hàng.

 
Hệ quả 2. $\displaystyle AT$ cắt $\displaystyle ( TBC)$ tại $\displaystyle M$. $\displaystyle N$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BC$ của $\displaystyle ( TBC)$. Chứng minh $\displaystyle \angle IMN=90$



#733774 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-06-2022 - 06:21

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.




#733773 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-06-2022 - 06:09

bài này mấu chốt là gọi AP cắt (O) tại F thì I là tâm nội tiếp của APF. 

Dạ vâng đây cũng là bổ đề quan trọng để chứng minh bài toán sau:

Bài toán 12. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác với $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.

 

attachicon.gif Screenshot (1503).png

.




#733772 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-06-2022 - 06:04

bài 13 281877029_346180514356706_37588247601729