narutosasukevjppro

ý b bài 18 khá vui còn ý a thì a làm lâu rồi( mn check xem thử đúng chưa ạ)

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

lời giải của mình, cũng dùng bổ đề trên để xử lí

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$

Xét phương trình $\displaystyle 2^{n} +n=m!$, bây giờ, ta sẽ thử từng trường hợp trước để dự đoán. Ta sẽ xét $\displaystyle v_{2}$ của cả hai vế. Kiểm tra trực tiếp một số trường hợp ta nhận thấy chỉ có $\displaystyle m=3,n=2$ duy nhất thỏa mãn. Trường hợp $\displaystyle n$ là lũy thừa của 2, ta đặt $\displaystyle n=2^{a}$. Khi đó $\displaystyle 2^{n} +n=2^{x} +2^{y}$. Xét $\displaystyle m\leqslant 7$ thì không có trường hợp nào thỏa trừ $\displaystyle m=3$. Vậy xét $\displaystyle m >7$ thì khi đó $\displaystyle 7|m!$. Xét modulo 7 thì $\displaystyle 2^{x} +2^{y} \equiv 7( mod\ 7)$ và điều này là vô lí do $\displaystyle 2^{x} \equiv 1,2,4(\bmod 7)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n=2^{a} .k$ trong đó $\displaystyle k$ lẻ. Vậy $\displaystyle v_{2}\left( 2^{n} +n\right) =a$. Bây giờ, nếu $\displaystyle k\leqslant m$ thì ta có $\displaystyle m!\vdots k$ nên $\displaystyle 2^{n} \vdots k$, mâu thuẫn với tính lẻ của $\displaystyle k$. Tiếp theo, xét $\displaystyle m\leqslant k$ thì khi đó $\displaystyle \frac{m}{2} -1< v_{2}( m!) =\sum _{i\rightarrow \infty }\left\lfloor \frac{m}{2^{i}}\right\rfloor < \frac{m-1}{2-1} =m-1< m$ cho nên ta có $\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \leqslant a< m$ dẫn tới $\displaystyle 2^{a} < 2^{m}$ và ta có $\displaystyle 2^{n} =2^{2^{a} .k} \geqslant 2^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor m} \geqslant m^{m}  >m!$ đúng vì $\displaystyle m\geqslant 7$. Vậy ta có tất cả các nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( m,n) =( 3,2)$

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

bài toán 15

Bài toán 16

lòi giải bài 14

Mô hình bài toán 5 rất đẹp và trong lúc làm thì mình có rút ra được 1 số hệ quả như sau đây 

Hệ quả 1. Gọi $\displaystyle O$ là tâm của $\displaystyle BYZC$. $\displaystyle JO$ cắt $\displaystyle IK$ tại $\displaystyle G$ thì $\displaystyle A,T,G$ thẳng hàng.

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.

bài này mấu chốt là gọi AP cắt (O) tại F thì I là tâm nội tiếp của APF. 

Dạ vâng đây cũng là bổ đề quan trọng để chứng minh bài toán sau:

Bài toán 12. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác với $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.

 

Screenshot (1503).png

.

bài 13 

Bài toán 11. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là hai điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong $\measuredangle BAC$. $AI$ cắt $(O)$ tại $J$. $M$ là trung điểm của $IE$. Chứng minh rằng $JM$ và $PI$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Screenshot (1501).png

Một cách khác do mình và 1 anh khác giải

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là giao điểm của $E F, F D, D E$ với $B C, C A, A B$. Ta thấy: $D A$ là đường đối trung tại đỉnh $D$ của tam giác $D E F$ nên tứ giác $D E X F$ là tứ giác điều hòa. Suy ra: $A_{1} X$ là tiếp tuyến của $(I)$. Tương tự, thì: $B_{1} Y, C_{1} Z$ cũng là tiếp tuyến của $(I)$. Suy ra: $A_{1} X, B_{1} Y, C_{1} Z$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ tai $X, Y, Z$, tương ứng.

cách Bài toán 3 của mình thì ngắn hơn chút....

Một số bài khác hình học thuần túy về đồng quy thẳng hàng khác. Mời mọi người góp ý

Bài toán 11. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm và $\displaystyle D$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BAC$. $\displaystyle BH$ cắt $\displaystyle AC,AD$ tại $\displaystyle E,M$. $\displaystyle CH$ cắt $\displaystyle AB,AD$ tại $\displaystyle F,N$. Đường tròn $\displaystyle ( HMN)$ cắt $\displaystyle ( AEF)$ tại $\displaystyle G$. $\displaystyle AG$ cắt $\displaystyle BH,CH$ tại $\displaystyle P,Q$ tương ứng. Gọi $\displaystyle K$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle G$ của $\displaystyle GAH$ với $\displaystyle EF$, $\displaystyle L$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle H$ của tam giác $\displaystyle HPQ$ và $\displaystyle ( AEF)$. Chứng minh $\displaystyle A,K,L$ thẳng hàng

Bài toán 12. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và tâm ngoại tiếp là $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle X$ là điểm đối xứng của $\displaystyle A$ qua $\displaystyle BC$. Xét $\displaystyle AO$ cắt $\displaystyle ( OBC)$ tại $\displaystyle Y$. Chứng minh $\displaystyle HY,XO,BC$ đồng quy tại $\displaystyle D$ và $\displaystyle AD$ chia đôi $\displaystyle HO$.

Bài toán 13. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ với $\displaystyle ( I)$ là đường tròn nội tiếp, $\displaystyle D$ là tiếp điểm của $\displaystyle I$ với $\displaystyle BC$. Đường thẳng qua $\displaystyle D$ vuông góc $\displaystyle AI$ cắt $\displaystyle BI,CI$ tại $\displaystyle P,Q$. Chứng minh $\displaystyle BPCQ$ nội tiếp $\displaystyle ( S)$ và $\displaystyle S,A,D$ thẳng hàng.