narutosasukevjppro

Bài 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$ có trực tâm $\displaystyle H$. Lấy $\displaystyle X,Y$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle BH,CO$ và $\displaystyle CH,BO$. Chứng minh $\displaystyle OL$ chia đôi $\displaystyle XY$ với $\displaystyle L$ là điểm Lemoine trong tam giác $\displaystyle ABC$

chủ tus đăng sol đi :=)

bạn gõ latex ra tự nhiên mình thấy đề đẹp với xịn ngay. lúc ngồi thi thì mình không nghĩ vậy

Một số bài toán hay khác, nếu sau 24h k có ai giải thì mình đăng luôn nhé

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $\displaystyle x,y$ thì 

 

• $\displaystyle ( f( x) ,f( y)) =1$ với mọi $\displaystyle x,y\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $\displaystyle ( x,y) =1$

 

• $\displaystyle f( xf( y)) =y^{6} f( xy) ,\forall x,y\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $( n-1)^{2} < f( n) f( f( n)) < n^{2} +n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

 

Bài 7. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $m^{2} +( f( n))^{2} +( m-f( n))^{2} \geqslant ( f( m))^{2} +n^{2} ,\forall m,n\in \mathbb{Z}^{+}$

 

Bài 8. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho  $f( x) +f( y) +xy|xf( x) -y^{3} ,\forall x,y\in \mathbb{Z}$

Gợi ý.

Bài 8. Vấn đề lớn nhất của bài này là tính được $f(0)$ vì nếu tính được $f(0)=0$ thì thay vào giả thiết là gần như xong bài toán. Nhưng thực sự để tính $f(0)$ không phải là điều dễ dàng lắm mà phải xét khá nhiều trường hợp.

Bài 7. Một trong những bài rất khó mà mình từng làm, đầu tiên là thay $P(f(n),n)$ vào để chuyển về biến $n$ cho dễ làm việc. Phần còn lại có thể xử lý bằng cách truy hồi và lập dãy số hoặc lập luận không đơn giản bằng bất đẳng thức.

 

Bài 9.Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $\displaystyle n$ thì ta luôn có

 

1. $\displaystyle \sum _{k=1}^{n} f( k)$ là số chính phương 

 

2. $\displaystyle f( n)$ là ước của $\displaystyle n^{3}$

 

Bài 10. Cho trước một hằng số $\displaystyle C$, hãy tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a+b >C$ thì  $a+f( b) |a^{2} +bf( a)$

 

Gợi ý.

Bài 9

Dự đoán được nghiệm hàm là $f(n)=n^{3}$ nên quy nạp là cách hiệu quả nhất. $\displaystyle f( 1) +f( 2) +...+f( k) =\left( 1^{3} +...+( k-1)^{3}\right) +f( k) =\left(\frac{( k-1) k}{2}\right)^{2} +f( k) =m^{2}$, với $\displaystyle m >\binom{k}{2}$ ta viết $\displaystyle m=\binom{k}{2} +l$ với $\displaystyle l$ là một số nguyên dương

Bài 10 

Có 2 cách, cách đầu tiên là thế $a$ vào giả thiết và chứng minh có vô hạn số nguyên tố dạng $an+1$ bằng đa thức chia đường tròn (bổ đề quen thuộc), cách này là dễ hiểu và dễ làm nhất. Một cách khác là thế $a=nb-f(b)>C$ và đẩy lên làm việc với số nguyên tố

Bài 11. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn $\displaystyle f( -f( x) -f( y)) =1-x-y,\forall x,y\in \mathbb{Z}$

Gợi ý : Tìm cách tác động lại vào $\displaystyle -f( x) -f( y)$ bằng cách thay $\displaystyle x\rightarrow -f( x) -f( 0) ,y\rightarrow -f( 3) -f( 0)$ 

Mạnh hơn (và dễ hơn): $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}.$$

Bất đẳng thức là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $\displaystyle abc=1$. Đưa về $\displaystyle \left(\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}\right)^{2} \geqslant 3\left( a^{2} +b^{2} +c^{2}\right)$. Bung hết ra và tách ghép theo cặp $\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2}} +\frac{a}{c} +\frac{a}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^{4}}{b^{2} c^{2}}} =3a^{2}$ rồi tương tự ta có điều phải chứng minh.

Một số bài toán hay khác, nếu sau 24h k có ai giải thì mình đăng luôn nhé

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $\displaystyle x,y$ thì 

• $\displaystyle ( f( x) ,f( y)) =1$ với mọi $\displaystyle x,y\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $\displaystyle ( x,y) =1$

• $\displaystyle f( xf( y)) =y^{6} f( xy) ,\forall x,y\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $( n-1)^{2} < f( n) f( f( n)) < n^{2} +n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài 7. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $m^{2} +( f( n))^{2} +( m-f( n))^{2} \geqslant ( f( m))^{2} +n^{2} ,\forall m,n\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài 8. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho  $f( x) +f( y) +xy|xf( x) -y^{3} ,\forall x,y\in \mathbb{Z}$

Bài 2. Cho hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn điều kiện $\displaystyle f( n+1)  >f( f( n)) ,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$. Chứng minh rằng $\displaystyle f( n) =n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài 1. Bài này có vẻ quen thuộc với nhiều bạn nhỉ, cách giải của mình là quy nạp từ Z lên Q

cảm ơn bạn đã đăng bài, mình bận ôn thi nên để topic flop quá, cũng lười đăng bài luôn

mình có niềm đam mê sâu sắc với phân môn pth và số học :=) và đó là lý do mình thích pth số học, hoặc pth trên tập rời rạc. mình muốn tạo một topic nhỏ để thảo luận các bài toán về pth trên tập N,Z,Q, nửa khoảng v.v...

Mọi người có bài nào hay cứ post nhé, vì mình biết trên VMF hiện nay cũng ko còn nhiều ng theo lắm đặc biệt là mảng toán Olympic

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $\displaystyle f( x) +f( y) =f( x+y) ,\forall x,y\in \mathbb{Q}$

p/s: lúc đầu chọn topic mình ko cho đúng mục vậy bây giờ làm cách nào để đổi lại ạ :V mình chọn nhầm sang mục thcs

Bài 42. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\displaystyle ( p,q)$ thỏa mãn $\displaystyle p >q$ và $\displaystyle \frac{( p+q)^{p+q}( p-q)^{p-q} -1}{( p+q)^{p-q}( p-q)^{p+q} -1}$ là một số nguyên.

Bài 14.