Đến nội dung

narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

Đăng ký: 04-10-2021
Offline Đăng nhập: 27-08-2023 - 20:30
*****

#734837 Một bài đa thức hay

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 07-09-2022 - 05:15

Một số bài đa thức hay ạ.

 

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle d\geqslant 1$ sao cho tồn tại đa thức $\displaystyle P( x) \in \mathbb{Z}[ x]$ bậc $\displaystyle d$ và các số nguyên phân biệt $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,...,x_{d+1}$ thỏa mãn $\displaystyle |P( x_{i}) |=1$ với $\displaystyle i=\overline{1,d+1}$.

Bài 2. Cho đa thức $\displaystyle P( x) =4x^{2} +12x-3015$ và dãy đa thức $\displaystyle P_{n}( x)$ được định nghĩa như sau 

 
$P_{1}( x) =\frac{P( x)}{2016} ,P_{n+1}( x) =\frac{P( P_{n}( x))}{2016} ,\forall n\geqslant 1$
 
a) Chứng minh rằng tồn tại số thực $\displaystyle r$ sao cho $\displaystyle P_{n}( r) < 0$ với mọi số nguyên $\displaystyle n$
 
b) Có bao nhiêu số nguyên $\displaystyle m$ để tồn tại vô hạn $\displaystyle n$ thỏa $\displaystyle P_{n}( m) < 0$



#734815 $\max\limits_{0\le i\le n+1}\left| {a}^{i}-P...

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 05-09-2022 - 21:37

Mình nghĩ là quy nạp, khá gọn và đẹp như sau : cụ thể với $\displaystyle n=0$ thì $\displaystyle P( x) \equiv c$ và ta có thể kiểm tra trực tiếp. Giả sử kết luận bài toán đa xcho đúng đến $\displaystyle n-1$. Xét đa thức $\displaystyle P( x)$ tùy ý bậc $\displaystyle n$ với hệ số thực. Khi đó đặt $\displaystyle Q( x) =\frac{P( x+1) -P( x)}{a-1}$

 
Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại số $\displaystyle k$ nguyên sao cho $\displaystyle |a^{k} -Q( k) |\geqslant \left(\frac{a-1}{2}\right)^{n-1}$ sau đó thì thay $\displaystyle Q( k)$ như trên vào rồi biến đổi tương đương.



#734591 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-08-2022 - 15:33

Bài 36. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, Ia lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Gọi AA1 là đường kính của đường tròn (O). IaA1 cắt lại đường tròn (O) tại T, AI cắt BC tại E và đường thẳng qua I vuông góc với AE cắt AC tại P. Chứng minh rằng AT, EP và BI đồng quy




#734582 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 23-08-2022 - 05:40

Bài 35. Cho hình bình hành $ABCD$ có $P$ là điểm bất kỳ trên $AB$. $DP,CP$ lần lượt cắt $CB$ và $AD$ tại $E,F$. $G$ là tâm vị tự trong của đường tròn nội tiếp hai tam giác $PAE$ và $PBF$. Chứng minh $PG$ đi qua điểm Nagel của tam giác $PCD$. 

d650ec45c07b7e8235d8e7cd3fe09201765acb31




#734570 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 22-08-2022 - 17:42

góp vui

Bài toán 6. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của ngũ giác $\displaystyle ABCDE$ lấy điểm $\displaystyle F$ sao cho $\displaystyle \Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{AF}{BF} =\frac{EF^{2}}{CF^{2}}$.

Còn bài này ai xử nốt đi :))




#734569 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 22-08-2022 - 17:41

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. $J,K$ là tâm đường tròn $(BOP)$ và $(COP)$. $Y,Z$ là hình chiếu của $J,K$ lên $AC,AB$. Chứng minh $YZ$ đi qua 1 điểm cố định khi $P$ di chuyển trên $(O)$




#734525 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 20-08-2022 - 10:22

để topic tiếp tục hoạt động :) ( vì bài trên có vẻ hơi quá tầm với mn....)  mình xin post bài mới

Bài 31. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ nằm trên trung trực $BC$. $X,Y$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. Chứng minh $(AXY)$ luôn đi qua 1 điểm cố định




#734432 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 16-08-2022 - 10:42

Bài 29. Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định nằm trên đường tròn. $A$ di động trên đường tròn ấy và một đường thẳng $d$ bất kỳ không cắt $(O)$ và cố định. $AB,AC$ cắt $d$ tại $D,E$. Chứng minh đường tròn đường kính $DE$ tiếp xúc với 2 đường tròn cố định khác.




#734398 [TOPIC] PTH $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 2022

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 15-08-2022 - 16:18

Bài 17.  Cho $\displaystyle f,g,h\in \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+g( x)) =xf( y) +h( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$. Chứng minh $\displaystyle f$ là hàm tuyến tính. 

Một bổ đề hay để giải các bài PTH trên R 




#734378 [TOPIC] TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 14-08-2022 - 22:04

$\textbf{Bài toán 1 (Nguyễn Tài Chung).}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R}$$ 

$\textbf{Lời giải.}$

Giả sử tồn tại hàm $f$ thoả mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R} (1)$$ 

Trước tiên, ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh. 

Thật vậy, thay $x=y=c$ vào $(1)$, ta được: $$f\left ( \frac{cf(c)}{2} \right )=2c^2,\forall c \in \mathbb{R}(2)$$

Giả sử tồn tại $x,y \in \mathbb{R}$ để $f(x)=f(y)$ thì ta có: $\left\{\begin{matrix}\frac{xf(x)}{2}=\frac{xf(y)}{2} & \\ \frac{yf(y)}{2}=\frac{yf(x)}{2} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4xy=f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=f\left ( \frac{xf(x)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(y)}{2} \right )=2x^2+2y^2\Rightarrow x=y$

Vậy $f$ đơn ánh trên $\mathbb{R}$

Từ $(2)$ và $f$ đơn ánh suy ra $f$ là hàm lẻ

Thay $c=1$ vào $(2)$, ta được: $\frac{1}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=1\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=\frac{f(1)}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right ) \right )=f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )\Rightarrow 2.\frac{f(1)^2}{4}=2\Rightarrow f(1)^2=4$

$\textbf{Trường hợp 1:}$ $f(1)=2$ thì ta thay $y=1$ vào $(1)$, ta được: $$f(x)+f(\frac{f(x)}{2})=4x$$

Đặt $z=2x-f(x)$ thì $f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$

Ta có: $z=2x-f(x)\Rightarrow f(x-\frac{z}{2})=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$

$\Rightarrow f\left ( x+\frac{z}{2} \right )=f\left ( \frac{f\left ( x-\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x-\frac{z}{2})+z=2x$

$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f\left ( x+\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x+\frac{z}{2})+z=2(x+z)$

Như vậy ta sẽ được $f(x)=2x,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

$\textbf{Trường hợp 2:}$ $f(-1)=2$ thì thay $y=-1$ vào $(1)$, ta được: $$f(-x)+f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x$$

$\Rightarrow f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x+f(x)$

Đặt $2x+f(x)=t$ thì $f(\frac{t}{2}-x)=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+t\Rightarrow f(x-\frac{t}{2})=-2x-t$

$\Rightarrow f(-x-\frac{t}{2})=f\left ( \frac{f(x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(x-\frac{t}{2})+t=2x$

$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f(-x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(-x-\frac{t}{2})+t=-2x$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy có hai hàm thỏa mãn bài toán là $\boxed{f(x)=2x,f(x)=-2x,\forall x \in \mathbb{R}}$

Đặt $\displaystyle g( x) =\frac{f( x)}{2}$ thì phương trình ban đầu trở thành $\displaystyle g( xg( y)) +g( yg( x)) =2xy$. Thay $\displaystyle x=y$ thì ta có
 
$\displaystyle g( xg( x)) =x^{2}$(1)
 
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $\displaystyle g$ là đơn ánh. Thật vậy, xét hai số $\displaystyle x_{1} ,x_{2}$ sao cho $\displaystyle g( x_{1}) =g( x_{2})$. Khi đó $\displaystyle x_{1} g( x_{1}) =x_{1} g( x_{2})$ và tương tự $\displaystyle x_{2} g( x_{1}) =x_{2} g( x_{2})$ cho nên sử dụng (1) và giả thiết ban đầu ta được $\displaystyle g( x_{1} g( x_{2})) +g( x_{2} g( x_{1})) =g( x_{1} g( x_{1})) +g( x_{2} g( x_{2})) =x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =2x_{1} x_{2}$ và từ đây có $\displaystyle x_{1} =x_{2}$
 
Ta thay $\displaystyle x\rightarrow 1$ vào thì được $\displaystyle g( g( 1)) =1$ do đó $\displaystyle g( g( 1) g( g( 1)) =g( g( 1)) =[ g( 1)]^{2} =1$ cho nên $\displaystyle g( 1) =1$ hoặc $\displaystyle g( 1) =-1$.Từ phương trình ban đầu : $\displaystyle g( xg( y)) +g( yg( x)) =2xy$ ta thay $\displaystyle y\rightarrow \frac{y}{g( x)}$ thì được 
 
$\displaystyle g\left( xg\left(\frac{y}{g( x)}\right)\right) +g( 1) =\frac{2xy}{g( x)}$
 
$\displaystyle \Longrightarrow g\left( xg\left(\frac{1}{g( x)}\right)\right) =\frac{2x}{g( x)} -1$ và thay $\displaystyle x\rightarrow g( x)$ ta có 
 
$\displaystyle \Longrightarrow g\left( g( x) g\left(\frac{1}{g( g( x))}\right)\right) =1$
 
Tiếp theo ta có $\displaystyle x\rightarrow \frac{1}{x}$ còn $\displaystyle y\rightarrow xg( x)$ thì được $\displaystyle g( x) +g\left( xg( x) g\left(\frac{1}{x}\right)\right) =2g( x)$ suy ra $\displaystyle g( x) g\left(\frac{1}{x}\right) =1$ tư tính đơn ánh ta có được kết quả trên. Suy ra từ $\displaystyle g\left( g( x) g\left(\frac{1}{g( g( x))}\right)\right) =1$ và $\displaystyle g( x) g\left(\frac{1}{x}\right) =1$ ta rút ra được $\displaystyle g( g( x)) =x$ và thay lại (1) thì có $\displaystyle g( g( x) x) =( g( x))^{2} =x^{2} \Longrightarrow g( x) =x$ hoặc $\displaystyle g( x) =-x$. Đến đây ta có thể kiểm tra bằng cách xét tồn tại $\displaystyle x_{1} ,x_{2}$ sao cho $\displaystyle g( x_{1}) =x_{1} ,g( x_{2}) =-x_{2}$ ( để tránh tồn tại trường hợp "hàm nhánh") rồi chỉ ra vô lí và chỉ có hàm $\displaystyle f( x) =2x$ hoặc $\displaystyle f( x) =-2x$ thỏa. 
 
p/s một hướng xử lí khác =)



#734372 TOPIC [MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC]

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 14-08-2022 - 10:26

a góp mấy bài được k e  :like  :D




#734365 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 13-08-2022 - 22:03

nghịch đảo chắc cách ngắn nhất rồi

298725535_1088145828474938_4297863529410




#734364 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 13-08-2022 - 22:01

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ nhọn và điểm $D$ bất kỳ di động trên $BC$ sao cho $AD$ không vuông góc $BC$. Giả sử tồn tại hai điểm $E,F$ trên $AC,AB$ sao cho $\angle ADB = \angle BEC = \angle CFA$. $AD,BE,CF$ cắt nhau tạo thành tam giác $XYZ$. Chứng minh trực tâm tam giác $XYZ$ di động trên 1 đường tròn cố định khi $D$ di động




#734361 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 13-08-2022 - 15:06

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$ có $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ nhỏ. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. và $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $Z$ khác $A$. $ZP$ cắt $(I)$ tại $Q$ và $AQ$ cắt $(I)$ tại $T$. $K$ là giao điểm của đường cao $AH$ và đường thẳng Simson của $P$ đối với tam giác $ABC$. Chứng minh $(ATK)$ tiếp xúc $(I)$




#734351 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi narutosasukevjppro trong 13-08-2022 - 08:47

Bài toán 24. Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. Lấy $Q$ sao cho $PQ$ vuông góc $BC$ và $A(BC,QP)=-1$. Kẻ hình bình hành $AEQF$ với $E,F$ lần lượt nằm trên $AC,AB$. $K$ là trực tâm $AEF$. Chứng minh $KP$ đi qua trực tâm $H$ của $ABC$.