Đến nội dung


narutosasukevjppro

Đăng ký: 04-10-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 10:48
*****

Chủ đề của tôi gửi

[TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

04-10-2021 - 09:10

Xin chào mọi người, mình làm post này với mục đích tổng hợp các bài toán hay về phương trình nghiệm nguyên, phục vụ cho kỳ thi VMO-TST của các trường sắp tới, hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.

( nếu 2 ngày ko ai sol thì mình đăng sol luôn nhé : )) để ôn tập luôn ạ )

Các mảng kiến thức có thể sẽ cần thiết trong quá trình giải toán 

  • UCLN,BCNN và thuật toán chia Euclid
  • Định lý Bezout, hệ thặng dư
  • Các định lý đồng dư cổ điển : Fermat, Euler,Wilson
  • Thặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, Jacobi
  • Định lý thặng dư Trung Hoa (CRT)
  • Hàm định giá p-adic và bổ đề LTE
  • Cấp và căn nguyên thủy của một số
  • Các tính chất số học của hệ số nhị thức
  • Hàm số học
  • Một số kỹ thuật nâng cao khác như : Vành $\displaystyle \mathbb{Z}[ i]$ các số nguyên Gauss, Bổ đề Thue, định lý Zsigmondy, định lý Dirichlet, đa thức chia đường tròn

Bài 1. Cho $\displaystyle p,q,r$ là các số nguyên tố và $\displaystyle n$ là số tự nhiên. Tìm tất cả $\displaystyle n$ để $\displaystyle p^{n} +q^{n} =r^{2}$. ( *)

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle 3^{p} +4^{p}$ là một số chính phương(*)

Bài 3. Tìm tất cả $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle n^{7} +7$ là một số chính phương (*)

Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.(*)

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle x$ sao cho với số nguyên tố lẻ $\displaystyle p >3$ thì $\displaystyle \varphi ( x) =2p$.(*)

Bài 6.Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên $\displaystyle x^{4} +4=py^{4}$ 

Bài 7.Tìm $\displaystyle x,y$ nguyên dương và $\displaystyle p$ nguyên tố sao cho $\displaystyle \frac{xy^{3}}{x+y} =p$
Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$
Bài 9.Tìm tất cả các số tự nhiên $\displaystyle n,p,q$ thỏa mãn $\displaystyle 2^{n} +n^{2} =3^{p} 7^{q}$ ( Iran 2005)(*)
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|3^{n} -1$(*)

Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle p,q$ nguyên tố sao cho $\displaystyle 2^{m} p^{2} +1=q^{5}$

Bài 13. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle ( p+q)^{p} =( q-p)^{2q-1}$

Bài 14.  Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p$ và số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2p^{2} -1=7^{n}$

Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$(*)

Bài 16.Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $\displaystyle k,n$ thỏa $\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-2$ và $\displaystyle \binom{n}{k}^{2} +\binom{n}{k+1}^{2} =\binom{n}{k+2}^{4}$ ( Bulgarian MO 2011)

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)(*)

Bài 18. Cho $\displaystyle a,b,p$ là bộ ba số nguyên tố phân biệt và thỏa $\displaystyle ( a,p-1) =( b,p-1) =1$. Chứng minh rằng phương trình $\displaystyle x^{a} \equiv y^{b}(\bmod p)$ có đúng $\displaystyle p$ cặp $\displaystyle ( x,y)$ thỏa và $\displaystyle x,y< p$

Bài 19. Tìm các số $\displaystyle x,y$ nguyên thỏa mãn $\displaystyle y^{2} =x^{3} -4$

Bài 20.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle \varphi ( n)$ là ước của $\displaystyle n^{2} +2n+5$

Bài 21. Cho các số nguyên dương $\displaystyle a,b,k$ thỏa mãn $\displaystyle a^{2} +b^{2} =k( ab-1)$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trên. ( tức là mô tả dãy nghiệm của phương trình trên)

Bài 22. Tìm các số nguyên dương $\displaystyle x,y$ và số nguyên tố $\displaystyle p$ sao cho $\displaystyle x^{p-1} +y$ và $\displaystyle y^{p-1} +x$ đều là các lũy thừa của $\displaystyle p$

Bài 23. Xét $\displaystyle a,b$ là các số tự nhiên lẻ sao cho $\displaystyle a|b^{2} +2$ và $\displaystyle b|a^{2} +2$. Chứng minh rằng $\displaystyle a,b$ là các số hạng của dãy $\displaystyle ( u_{n})$ cho bởi công thức 

$u_{1} =u_{2} =1,u_{n+2} =4u_{n+1} -u_{n} ,\forall n\geqslant 1$

Bài 24. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ sao cho $\frac{a^{2} b+b}{ab^{2} +9}$ là một số nguyên

Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên $\displaystyle a,b >1$ thỏa mãn $\displaystyle a|b+1$ và $\displaystyle b|a^{3} -1$

Bài 26. Tìm tất cả các số tự nhiên $\displaystyle x$ để tích các chữ số của $\displaystyle x=x^{2} -10x-22$ ( IMO 1968 P2)

Bài 27. (phương trình tuyến tính bất định) Xác định số nghiệm nguyên dương của phương trình sau $\displaystyle x+2y+3z=n\ ;x,y,z\geqslant 0$

Bài 28. Tìm bộ số nguyên dương $\displaystyle a,b,c$ thỏa mãn $\displaystyle \left( a^{5} +b\right)\left( b^{5} +a\right) =2^{c}$

Bài 29. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $\displaystyle 2^{x} +11=19^{y}$

Bài 30. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình sau $\displaystyle ( x-z)\left( x^{2} +xz+z^{2}\right) =xy^{3} +3z^{3}$ ( đây là một bài toán khá khó, mình sưu tầm được từ lâu trong đề VMO hay TST nhưng thực sự không nhớ rõ nguồn nữa, hi vọng có thể tìm thấy 1 lời giải đẹp hơn tại đây)

Bài 31. Tìm $\displaystyle a,n,p,q,r$ nguyên dương thỏa mãn $\displaystyle a^{n} -1=\left( a^{p} -1\right)\left( a^{q} -1\right)\left( a^{r} -1\right)$

Bài 32. Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b,c >1$ đôi một khác nhau và $\displaystyle ( a-1)( b-1)( c-1) |abc-1$

Bài 33.Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm $\displaystyle a,b,c$ của phương trình $\displaystyle a!+5^{b} =7^{c}$
Bài 34. Tìm tất cả các số nguyên $\displaystyle x,y$ thỏa mãn $\displaystyle x^{3} +( x+4)^{2} =y^{2}$
Bài 35. Cho $\displaystyle p,q$ là các số nguyên tố và $\displaystyle p >q$. Đặt $\displaystyle t=\gcd( p!-1,q!-1)$. Chứng minh $\displaystyle t\leqslant p^{\frac{p}{3}}$
Bài 36. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\displaystyle ( x,n)$ thỏa mãn phương trình $x^{3} +2x+1=2^{n}$
Bài 37. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle ( p,q)$ sao cho $\displaystyle p^{3} -q^{5} =( p+q)^{2}$
Bài 38. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\displaystyle x=8\left\lfloor \sqrt[4]{x}\right\rfloor +3$
Bài 39. Tìm bộ số nguyên dương $\displaystyle a,b,c$ thỏa mãn $\displaystyle \left( a^{3} +b\right)\left( b^{3} +a\right) =2^{c}$