narutosasukevjppro

Một số bài đa thức hay ạ.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle d\geqslant 1$ sao cho tồn tại đa thức $\displaystyle P( x) \in \mathbb{Z}[ x]$ bậc $\displaystyle d$ và các số nguyên phân biệt $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,...,x_{d+1}$ thỏa mãn $\displaystyle |P( x_{i}) |=1$ với $\displaystyle i=\overline{1,d+1}$.

Bài 2. Cho đa thức $\displaystyle P( x) =4x^{2} +12x-3015$ và dãy đa thức $\displaystyle P_{n}( x)$ được định nghĩa như sau 

Một topic để mọi người tổng hợp các bài toán phương trình hàm trên tập số thực

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+f( y)) =yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Xin lỗi mọi người, lúc nãy mình không để ý nên có đăng nhầm diễn đàn...Vẫn là topic cũ, ở post này mình xin phép được thảo luận các bài toán hình học có phát biểu mang tính đối xứng như chứng minh 3 đường đồng quy, hoặc chứng minh các điểm thẳng hàng v,v...Hi vọng nhận được sự ủng hộ từ mọi người.

Chú thích: (*) là khó vừa, (**) là rất khó

Bài toán 1. (Sưu tầm AoPS)(*) Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp đường tròn $\displaystyle ( I)$. $\displaystyle ( I)$ tiếp xúc với $\displaystyle BC,CA,AB$ lần lượt tại $\displaystyle D,\ E,\ F$. Gọi $\displaystyle X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle AD,BE,CF$ với $\displaystyle ( I)$ (khác $\displaystyle D,\ E,\ F$). Đường thẳng qua $\displaystyle A$ song song với $\displaystyle XY$ cắt $\displaystyle DY$ tại $\displaystyle M$. Đường thẳng qua $\displaystyle A$ song song với $\displaystyle XZ$ cắt $\displaystyle DZ$ tại $\displaystyle N$. $\displaystyle BM$ cắt $\displaystyle CN$ tại $\displaystyle T$. Gọi $\displaystyle K$ là trực tâm của tam giác $\displaystyle IBC$. Chứng minh rằng: 3 điểm $\displaystyle A,\ T,\ K$ thẳng hàng.

Bài toán 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và $\displaystyle D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle A,B,C$ xuống $\displaystyle BC,CA,AB$. Gọi $\displaystyle L$ là điểm Lemoine của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle OL$ đi qua trực tâm $\displaystyle DEF$.

Bài toán 3. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp $\displaystyle ( I)$ và tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. $\displaystyle G$ là điểm Gergonne của tam giác $\displaystyle ABC$. Dựng $\displaystyle X$ sao cho $\displaystyle GEXF$ là tứ giác điều hòa. Định nghĩa tương tự $\displaystyle Y,Z$. Chứng minh $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy.

Chào mọi người, để thuận tiện cho việc lưu trữ và thảo luận thì mình xin phép đăng lại các bài toán hình học mà mình sưu tầm được. Mọi người có thể thảo luận lời giải thoải mái, các bài toán sẽ do mình đề xuất. Cảm ơn mọi người !

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm bất kì trên mặt phẳng. Các đường thẳng $A P, B P, C P$ giao $(O)$ lần thứ hai tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Gọi $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ qua các cạnh $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng $H, A_{1}, B_{1}, C_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 1. (1,0 điểm)