Gia Cat Minh

Lời giải:
Gọi $DE, DF$ cắt $SC, SB$ tại $L, K$
$U, V$ là điểm đối xứng của $D$ qua $F, E$
$X, Y$ là điểm đối xứng của $M, N$ qua $AB, AC$
$BX, MU$ giao $CY, NV$ tại $H, G$
Ta có: $\angle HBA=\angle HCA$ nên $H$ thuộc $(ABC)$
Lại có: $\angle BHA=180 - \angle ACB=180-\angle XFA$ nên $X,F,H,A$ đồng viên
Tương tự $H,A,Y,E$ đồng viên
Mà $BD^2=BF.BA=BX.BH$ nên $\angle BHD=\angle XDB$
Tương tự $\angle CHD=\angle YDC$
Nên $H,X,D,Y$ đồng viên
Suy ra $\angle XDF=\angle YDE$ hay $\angle MUK=\angle NVL$
Suy ra $U,V,D,G$ đồng viên
Lại có $\angle MGN=\angle FDE=180-\angle MSN$ nên $G,M,N,S$ đồng viên
Bởi vì $MN//UV$ nên $(SMN)$ tiếp xúc với $(A,AD)$
Xứng đáng skin op
 Screenshot 2023-08-11 184617.png   83.61K   28 Số lần tải

Cho 2 số $a,b \in \mathbb{Z+}$,chứng minh rằng $a^{b}.b^{a}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{a+b}$

Đây là ứng dụng của amgm suy rộng

$a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{2ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{2}$

Suy ra dpcm

$P$ chỉ cần thuộc đường qua $O$ song song với $AM$ thì bài toán vẫn đúng

Cái bất đẳng thức trong ... < 0 không đúng vì với chẳng hạn $a=b=c=1$ thì $\sum\frac{a-10}{a^2+10}<0$.

À mk hiểu ý rồi

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{a^2+10}+\frac{b}{b^2+10}+\frac{c}{c^2+10}\leqslant \frac{3}{11}$

Một bài rất hay!

Giả sử $c$ là min 

Đặt $t=\frac{a+b}{2}$ khi đó $t\geq 1$

$f(t, t, c)-f(a,b,c)=\frac{(a-b)^2(30-ab)(a+b)}{A}\geq 0$

Mà $2t^2+tc=3$ thay c theo t

Từ $\frac{2t}{t^2+10}+\frac{c}{c^2+10}=\frac{2t}{t^2+10}+\frac{\frac{3-2t^2}{t}}{(\frac{3-2t^2}{t})^2+10}\leq \frac{3}{11}$

Sử dụng $t\geq 1$, ta có dpcm