maolus123

Cho tam giác ABC, P là một điểm trong tam giác. AP cắt (BPC) tại $A_{1}$ (khác P). Tương tự cho $B_{1},C_{1}$. Gọi X,Y, Z lần lượt là tâm $(PB_1C_1),(PC_1A_1),(PA_1B_1)$. Chứng minh rằng (XAP), (YBP), (ZCP) có một điểm chung khác P.

Cho tam giác ABC trực tâm H. P là điểm bất kì trên BC. AP cắt BH, CH lần lượt tại E,F. (HEF) cắt (BHC) tại K. L là trực tâm tam giác HEF. Chứng minh rằng AP là phân giác của $\widehat{LAK}$ .

Cho em gửi 1 cách khác ạ:

Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của EF, DI với BA, CB 

ta có (BXMD) = E(BXMD) = E(BFMD) = (BFMD) = A(BFMD) = A(BFAD) = (BFAD) = I(BFAD) = I(BFAY) = (BFAY)

do đó (BXMD) = (BFAY)

=> XF, MA, DY đồng quy hay EF, AM, DI đồng quy 

=> ĐPCM

Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức có bậc không quá 2020 và thoả mãn $x^2.P(x) + (x-2)^2.Q(x) = 1$ . Tính Q(1).

(nguồn: đề chọn đội tuyển VMO Bà Rịa-Vũng Tàu 2021-2022).

Cho $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng số tam giác có diện tích bằng 1 có các đỉnh thuộc $n$ điểm trên không vượt quá $\frac{2}{3}(n^2-n)$.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AC cắt BD tại P. (APD) cắt (BPC) tại Q. Trung trực BD, AC cắt BQ, AQ tại K,L. Chứng minh rằng KL đi qua trung điểm AB.