thanhng2k7

Bài 1 :

Với $a,b,c>0$ thì , chuẩn hóa $a+b+c=3$.

Ta có : 

$\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\sum_{cyc}\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}$

Ta chứng minh $\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{-18}{25}(a-1)+\frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{(18a+27)(2a^2-6a+9)-225}{2a^2-6a+9}\geq 0$ (luôn đúng).

Vậy đpcm , dấu "=" tại $a=b=c$.

P/s: Giải hơi tắt , có gì mn thông cảm =))

Câu 3 (năm 2020).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} = 6 &\\ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n^2-4u_n+9),&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2020} \frac{1}{u_i-1} < \frac{1}{3}$.

Câu 3 (năm 2020):

a) Ta chứng minh $u_{n+1}>u_n$ theo quy nạp $(1)$.

+) Với $n=1$ thì $u_2>u_1$ nên $(1)$ đúng với $n=1$.

+) Với $n\geq 2$ , giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$ . Ta chứng minh nó đúng với $n=k+1$.

Thật vậy , ta có từ $(1)$ suy ra $u_{n+1}>u_n>...>u_2>u_1=6$

Xét $u_{n+2}-u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n+1}^2-6u_{n+1}+9)=\frac{1}{2}(u_{n+1}-3)^2>0$

Vậy $(u_n)$ là dãy tăng . 

b) Xét $u_{i+1}-3=\frac{1}{2}(u_i^2-4u_i+3)=\frac{1}{2}(u_i-1)(u_i-3)$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{i+1}-3}=\frac{2}{(u_i-1)(u_i-3)}=\frac{1}{u_i-3}-\frac{1}{u_i-1}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_i-1}=\frac{1}{u_{i}-3}-\frac{1}{u_{n+1}-3}$

Do đó $\sum_{i=1}^{2020}\frac{1}{u_i-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{u_{2021}-3}<\frac{1}{3}$

Vậy đpcm.

Câu 5 (năm 2022).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} = 3 &\\ u_{n+1} = u_n^3-2u_n^2+2u_n,&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2022} \frac{u_i}{u_i^2-u_i+1} <1$.

Câu 5 (năm 2022):

a) Ta đi chứng minh $u_{n+1}>u_n$ $(1)$

+) Với $n=1$ thì  $u_2>u_1$.

+)  Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k \geq 2 $ , ta chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$ 

Thật vậy , từ $(1)$ suy ra $u_k>u_{k-1}>...>u_2>u_1$

Ta xét $u_{k+1}-u_k=u_k(u_k-1)^2>0 \Rightarrow u_{k+1}>u_k$

Vậy $(1)$ đúng với mọi $n$ nguyên dương , hay $(u_n)$ là dãy tăng . 

b) Ta xét công thức tổng quát : 

$\frac{u_i}{u_i^2-u_i+1}$

$=\frac{u_i(u_i-1)^2}{(u_i^2-u_i+1)(u_i-1)^2}=\frac{u_{i+1}-u_i}{(u_i-1)(u_{i+1}-1)}=\frac{1}{u_i-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}$

Do đó :

$\sum_{i=1}^{2022} \frac{u_i}{u_i^2-u_i+1}=\frac{1}{u_1-1}-\frac{1}{u_{2023}-1}<\frac{1}{2}$ ( do $u_{2023}>u_1=3$ )

Vậy đpcm.

Mình làm như vậy theo một bổ đề nằm trong sách Dãy số và áp dụng trang 83 , bổ đề đó phát biểu :

Nếu $y_n$ và $z_n$ là nghiệm của hệ phương trình sai phân :

$y_{n+1}=py_n+qz_n$ ; $y_0=a $ và $z_{n+1}=ry_n+sz_n ; z_0=1 $ 

Thì $x_n=\frac{y_n}{z_n}$ là nghiệm của phương trình 

$x_0=a;x_{n+1}=\frac{px_n+q}{rx_n+s}$

Ban co the giai thich giup minh cho nay duoc khong : 
$\Rightarrow a_n=\frac{1}{2}.(2^n + 4^n)$ ; $b_n=\frac{-1}{2}.(2^n-4^n)$

Sau khi giải phương trình tuyến tính thuần nhất bậc 2 : $x^2-6x+8=0$ ta thu được hai nghiệm là $2$ và $4$ nên

$a_n=u.2^n+v.4^n$

Mà $a_2=3a_1+b_1=10$

Kết hợp với $a_1=3$ ta được hệ phương trình , giải ta được $u=v=\frac{1}{2}$.

Còn $b_n$ làm tương tự 

Trong chủ đề này mình xin tổng hợp các bài dãy số trong đề thi chọn hsg lớp 12, tp Hà Nội những năm gần đây. Mời mọi người tham gia giải ạ.

 

Câu 1 (năm 2018).

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi

$\begin{cases} a_{1} =\frac{1}{2} &\\ a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(a_n)$ là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_{n} = \sum_{i=1}^{n} a_i$.

Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty} b_n$.

Câu 2 (năm 2019).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} =\frac{\sqrt{3}}{3} &\\ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2019} \frac{1}{u_i} < 2^{2020}$.

Câu 3 (năm 2020).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} = 6 &\\ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n^2-4u_n+9),&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2020} \frac{1}{u_i-1} < \frac{1}{3}$.

Câu 4 (năm 2021).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} = 3&\\ u_{n+1} = \frac{3u_n+1}{u_n+3},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số giảm.

b) Tính tổng: $S=\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{u_i-1}$.

Câu 5 (năm 2022).

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases} u_{1} = 3 &\\ u_{n+1} = u_n^3-2u_n^2+2u_n,&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2022} \frac{u_i}{u_i^2-u_i+1} <1$.

Câu 4 (năm 2021):

a) Đặt  $u_n=\frac{a_n}{b_n}$ với $a_1=3 , b_1=1$

Khi đó : 

$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{3a_n+b_n}{a_n+3b_n}$

Suy ra $a_{n+1}=3a_n+b_n ; b_{n+1}=a_n+3b_n$

Từ $a_{n+1}=3a_n+b_n$ ta có $a_{n+2}=3a_{n+1}+b_{n+1}$

$=3a_{n+1}+a_n+3b_n=3a_{n+1}+a_n+3.(a_{n+1}-3a_n)=6a_{n+1}-8a_n$

$\Rightarrow a_n=\frac{1}{2}.(2^n + 4^n)$ ( Dễ dàng làm được =)) )

Tương tự như trên , $b_n=\frac{-1}{2}.(2^n-4^n)$

Do đó $u_n=\frac{4^n+2^n}{4^n-2^n}=\frac{2^n+1}{2^n-1}=1+\frac{2}{2^n-1}$

Từ đó dễ dàng nhận thấy $(u_n)$ giảm.

b) Ta có :

$\frac{1}{u_n-1}=\frac{1}{\frac{2^n+1}{2^n-1}-1}=\frac{2^n-1}{2}$

Do đó : 

$S=\sum_{i=1}^{100}\frac{1}{u_i-1}=\frac{2^1+2^2+..+2^{100}}{2}-50=\frac{2^{101}-2}{2}-50=2^{100}-51$.

P/s: Nếu có sai sót mong lượng thứ =)) .