Đến nội dung

thanhng2k7

thanhng2k7

Đăng ký: 07-11-2021
Offline Đăng nhập: 25-02-2024 - 20:44
***--

#737655 Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2b + b^2c + c^2a + 1$

Gửi bởi thanhng2k7 trong 11-03-2023 - 19:43

Do $0\leq a,b,c\leq 1$ nên ta có $0\leq a^2\leq a\leq 1 , 0\leq b^2\leq b\leq 1 , 0\leq c^2\leq c\leq 1 ,$

Nên $0\leq (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=1+\sum_{a,b,c}a^2b^2-\sum_{a,b,c}a^2-a^2b^2c^2$

$\Rightarrow \sum_{a,b,c}a^2 \leq 1+\sum_{a,b,c}a^2b^2\leq 1+\sum_{a,b,c}a^2b$

Dấu bằng xảy ra khi $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=0 , a^2b^2c^2=0, a^2=a , b^2=b , c^2=c$ 

Hay dấu bằng xảy ra khi hai trong ba số đã cho bằng $0$ , một số bằng $1$ hoặc hai trong ba số trên bằng $1$ , số còn lại bằng $0$




#737628 Chứng minh $EF$ chia đôi $PQ$.

Gửi bởi thanhng2k7 trong 10-03-2023 - 21:27

Cho tam giác $ABC$ , đường cao $BE$,$CF$ . Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ lên $EF$ . Gọi $M$,$N$ lần lượt là trung điểm $BE$ , $CF$ . $TM$,$TN$ lần lượt cắt $AB$,$AC$ tại $P$,$Q$.Chứng minh $EF$ chia đôi $PQ$ . 




#737626 $f(x^{2})-f(y^{2})=(x-y)(f(x)+f(y))$

Gửi bởi thanhng2k7 trong 10-03-2023 - 21:20

Bạn cho t hỏi chỗ này chút được ko?

Làm sao mà bạn có được $(x-y)f(0) = xf(y) - yf(x)$ vậy?

Chỉ là triệt tiêu từ dòng trên thôi mà nhỉ ? =)) 




#737625 $\sqrt{x^2-3x+21}+\sqrt{7x^2-6x+12}+\...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 10-03-2023 - 21:08

Do vế trái lớn hơn $0$ nên $x>-1$.

Ta có: $\sqrt{x^2-3x+21}+\sqrt{7x^2-6x+12}+\sqrt{13x^2-9x+3}= 3\sqrt{3}(x+1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{4x^2-12x+84}-5\sqrt{3}+\sqrt{28x^2-24x+48}-2\sqrt{3 }(x+1)+\sqrt{52x^2-36x+12}-\sqrt{3}(4x-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(2x-3)^2}{\sqrt{4x^2-12x+84}+5\sqrt 3}+\frac{4(2x-3)^2}{\sqrt{28x^2-24x+48}+2\sqrt{3}(x+1)}+\frac{(2x-3)^2}{\sqrt{52x^2-36x+12}+4\sqrt{3}x-\sqrt{3}}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{4x^2-12x+84}+5\sqrt 3}+\frac{4}{\sqrt{28x^2-24x+48}+2\sqrt{3}(x+1)}+\frac{1}{\sqrt{52x^2-36x+12}+4\sqrt{3}x-\sqrt{3}}=0$ 

Xét trường hợp 2 ta thấy do $x>-1$ nên vế trái lớn hơn vế phải ( vô lí )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\frac{3}{2}$.




#737420 Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3 + x^2 + x + 1 = y^3$

Gửi bởi thanhng2k7 trong 23-02-2023 - 19:42

Ta thấy $x^3<x^3+x^2+x+1<(x+2)^3$ nên $x^3+x^2+x+1=(x+1)^3\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0$ v $x=-1$

(Do $y^3-x^3=x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ và $ (x+2)^3-y^3 = 5x^2+11x+7=5(x+\frac{11}{10})^2+\frac{19}{20}>0$

+) Với $x=0 $ thì $y^3=1$ hay $y=1$

+) Với $x=-1$ thì $y^3=0$ hay $y=0$

Vậy $(x,y)=(0,1);(-1,0)$ là nghiệm của phương trình đã cho . 




#737363 giải $\frac{x^{2}+4}{(x+1)(x-4)} - \frac{2x}{x+1}= -1$

Gửi bởi thanhng2k7 trong 20-02-2023 - 23:17

Điều kiện $x\neq -1 , x\neq 4$

Phương trình trở thành : $\frac{x^2+4}{(x+1)(x-4)}-\frac{2x(x-4)}{(x+1)(x-4)}=-1$

$\Leftrightarrow \frac{x^2+4-2x(x-4)}{(x+1)(x-4)}=-1\Leftrightarrow \frac{-x^2+8x+4}{(x+1)(x-4)}=-1\Leftrightarrow x^2-8x-4=x^2-3x-4$

Hay $x=0$ 




#737334 Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Đường thẳng $d...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 19-02-2023 - 10:58

a) Dễ thấy $H$ là trực tâm $\Delta AMB$ ( do $MI \perp AB , BC \perp AM , AD \perp MB , AD\cap BC={H}$ )

Ta có : $\widehat{OCD}=\frac{180^{\circ}-\widehat{COD}}{2}=90^{\circ}-\widehat{CAD}$

Mặt khác $\widehat{OIC}=180^{\circ}-\widehat{ACI}-\widehat{CAI}=180^{\circ}-(90^{\circ}-\widehat{ICB})-\widehat{CAI}=90^{\circ}-\widehat{CAI}+\widehat{ICB}=90^{\circ}-\widehat{CAD}$ ( do tứ giác $ACHI$ nội tiếp )

Do đó $\widehat{OIC}=\widehat{OCK}$

Từ đó suy ra $\Delta OCI \sim \Delta OKC$

 

b) Từ $\Delta OCI \sim \Delta OKC$ ta được $OC^2=OI.OK\Rightarrow R^2=\frac{R}{2}.OK\Leftrightarrow OK=2R \Rightarrow BK=R$

Khi đó $KQ^2=KI^2+IQ^2=(KB+IB)^2+OQ^2-OI^2=(\frac{3R}{2})^2+R^2-(\frac{R}{2})^2=3R^2=2R.\frac{3R}{2}=KO.KI$

Nên $\frac{KQ}{KI}=\frac{KO}{KQ}$

Do đó $\Delta KIQ \sim \Delta KQO$

Từ đó ta suy ra $KQ$ là tiếp tuyến tại $Q$ của $(O)$

Tương tự ta cũng suy ra được $KP$ là tiếp tuyến tại $P$ của $(O)$




#737181 $pq | 2^p+2^q$ với $p,q$ nguyên tố

Gửi bởi thanhng2k7 trong 10-02-2023 - 17:44

Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $pq | 2^p+2^q$




#735869 $n\epsilon \mathbb{N}$ , p nguyên tố để $...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 24-11-2022 - 20:57

Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên tố p cho trước , $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$




#735682 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 23:01

3) Từ hệ phương trình đã cho ta có 

$x^2-xy-xz+z^2+x^2-xz-yz+3y^2-(y^2+xy+yz-z^2)=0+2-2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$

Mà $(x-y)^2\geq 0 , (y-z)^2\geq 0,(z-x)^2\geq 0$ nên $\sum (x-y)^2 \geq 0$

Dấu "=" xảy ra tại $x=y=z$

Thay vào phương trình giữa ta được $2y^2=2$

Khi đó $x=y=z=1$ hoặc $x=y=z=-1$




#735680 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 22:47

1) Điều kiện  $x\neq -y , y\neq -z , z\neq -x$

Hệ phương trình tương đương 

$\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x+y}+z=1 & \\ \frac{yz}{y+z}+x=2 & \\ \frac{zx}{z+x}+y=2 \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có $xy+yz+zx = x+y = 2(y+z) = 2(z+x)$

Từ đó suy ra $ x=y $ và $ z=0 $

Thế $z=0$ vào $\frac{yz}{y+z}=2-x$ ta được $x=2$

Vậy $x=y=2$ và $z=0$




#735679 Tính diện tích tam giác ABC

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 22:05

Lấy $BK \perp AC$ tại K 

Ta có $\frac{BK}{AB}=sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Khi đó $S_{ABC}= \frac{BK.AC}{2}=\frac{AB.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.AC}{2}=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$ ($cm^2$)




#735536 CMR $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 31-10-2022 - 18:07

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp (I)  . (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F . (AEB) cắt (AFC) tại $A_{1}$ khác A , (BFC) cắt (BDA) tại $B_{1}$ khác B , (CDA) cắt (CEB) tại $C_{1}$ khác C . CMR $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{1}$ đồng quy 




#735234 Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 04-10-2022 - 22:59

 Ta có  $ab+c(a+b)=3c^2\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=(2c)^2$

Đặt $(a+c,b+c)=d$ ,suy ra $d | a-b$ hay $ d=1 $ hoặc $ d=a-b$ ( do$a-b$ là số nguyên tố )

+) Nếu $d=1$ thì $ a+c , b+c $ đều là số chính phương  . Đặt $a+c=m^2$ và $b+c=n^2$ $( m ,n \epsilon \mathbb{Z})$

Suy ra $m^2-n^2=a-b$ , mà $a-b$ là số nguyên tố nên $m-n=1 \Leftrightarrow  m=n+1 $ 

Lại có $4c^2=m^2n^2$ suy ra $8c+1= 4mn+1= (2n+1)^2$ là số chính phương

+) Nếu $d=a-b $ thì $a+c=(a-b)x,b+c=(a-b)y$ $(x,y\epsilon \mathbb{Z})$

$\Rightarrow a-b =(a-b)(x-y)\Rightarrow x-y=1 \Rightarrow x=y+1$

Khi đó $4c^2=(a+c)(b+c)=(a-b)^2xy =(a-b)^2y(y+1)$

Suy ra $y(y+1) $ là số chính phương hay$y=0$ , suy ra $c=0$ , từ đó ta có 8c+1 là số chính phương.




#735163 CM $n \vdots 13 $ với $6^n+7^n \vdots n $ (...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 01-10-2022 - 22:50

Với n là số nguyên dương lẻ khác 1 thỏa mãn $6^n+7^n \vdots n $ .Chứng minh $n \vdots 13 $