tiennuru

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận thực cấp $n$ x $n$. Giả sử rằng tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_{1},...,t_{n+1}$ sao cho

$C_{i}=A+t_{i}B$, $i=1,...,n+1$,

là lũy linh. Hãy chứng minh rằng khi đó $A$ và $B$ là các ma trận lũy linh.

Câu 2. Cho $a_{0}$ và $d$ là các số thực. Với $j=0,...,n$, đặt $a_{j}=a_{0}+jd$. Cho

$A=\begin{pmatrix} a_{0}&a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ a_{1}&a_{0} &a_{1} &... &a_{n-1} \\ a_{2}&a_{1} &a_{0} &... &a_{n-2} \\ ...&... &... &... &... \\ a_{n}&a_{n-1} &a_{n-2} &... &a_{0} \end{pmatrix}$

Hãy tính định thức của $A$ theo $a_{0}, d$ và $n$.

Câu 3. Cho $A$ là ma trận thực cấp $m$ x $m$ $(m\geq1)$ thỏa mãn $A^{3}=A+I_{m}$, với $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$. Chứng minh rằng $detA>0$.

Câu 4. Tìm tất cả các ma trận thực $A$ cấp $2$ x $2$ sao cho $A^{2}=I_{2}$, với $I_{2}$ là ma trận đơn vị cấp $2$.

Câu 5. Cho bất phương

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$

Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.

Câu 6. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng $(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.