Tìm kiếm
Nữ
Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10 chuyên Toán
Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$
Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài 3. (2 điểm) Biết rằng ba số $a,a+k,a+2k$ đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng khi đó $k$ chia hết cho 6.
Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và số nguyên $n$ thỏa mãn $P(2n),P(2n+1)$ đều là số lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.
Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ là hai điểm bất kì nằm trên cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BF,CE,EF$. Giả sử đường tròn $(MNP)$ tiếp xúc với $EF$. Chứng minh rằng $OE=OF$.
Bài 3.
Dễ thấy $k$ chẵn
Giả sử có $1$ trong $3$ số: $a, a+k, a+2k$ chia hết cho $3$ thì $1$ số phải bằng $3$ vô lí
Vậy ít nhất có $2$ trong $3$ số có cùng số dư khi chia cho $3$.
Trường hợp $1$: $a \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow 2k \vdots 3$ mà $(2,3)=1$ nên $k \vdots 3$
Trường hợp $2$: $a \equiv a+k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$
Trường hợp $3$: $a+k \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$
Vậy cả $3$ trường hợp thì $k$ đều chia hết cho $3$ mà $k$ chẵn. Suy ra: $k \vdots 6$ (đpcm)
