Mathlegend

Cảm ơn các bạn nha!

Vì $x$ nguyên dương nên ta xét:

+) $x = 1$ thì $y = 5$

+) $x\geqslant 2\Rightarrow 3^x+29\equiv 2(\text {mod 9}) \Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 9})\Rightarrow y\equiv 1(\text {mod 6})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 7})\Rightarrow 3^x\equiv 1(\text {mod 7})\Rightarrow x=6m\Rightarrow 3^x=729^m\equiv 1(\text {mod 4})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 4})\Rightarrow y=1$

Vô lí vì $y\geqslant 5$. Vậy có 1 cặp nghiệm duy nhất là $(x,y)=(1,5)$

Thanks you so much!!!

Có: $12x^{2}+26xy+15y^{2}=4617 \Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}=3^{5}.19$

$\Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}\vdots 19 \Leftrightarrow 12x^{2}-12xy+15y^{2} \vdots 19$

$\Leftrightarrow 3(4x^{2}-4xy+5y^{2})\vdots 19\Leftrightarrow 4x^{2}-4xy+5y^{2\vdots 19}$

$\Leftrightarrow (2x-y)^{2}+(2y)^{2}\vdots 19$

Áp dụng bổ đề : Nếu số nguyên tố p có dạng : 4n+3 thì a²+b² $\vdots$p$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots p & \\ b\vdots p & \end{matrix}\right.$$(a,b\in Z)$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 2x-y\vdots 19 & \\ 2y\vdots 19 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots 19 & \\ y\vdots 19 & \ \end{matrix}\right.\Rightarrow 12x^{2}+36xy+15y^{2}\vdots 19^{2}$

Điều này không xảy ra do 4617 không chia hết cho 19² nên phương trình không có nghiệm nguyên 

Thanks bạn nha!

GCD – Greatest Common Divisor: Ước số chung lớn nhất

OK cảm ơn bạn nha!

 Ta có

$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$

Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$

Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$

Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$

Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.

+) Với $y=0$, ta có $x=0$

+) Với $y>0$, ta có

$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$

Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).

Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình

Cho mình hỏi gcd là gì vậy bạn?