Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Le Tuan Canhh

Đăng ký: 08-12-2021
Offline Đăng nhập: 26-01-2023 - 16:31
-----

#736895 Min , Max của $\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 24-01-2023 - 10:11

Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x} \Rightarrow t^{2}=9+2\sqrt{(x+3)(6-x)}\geq 9$  $\Rightarrow t\geq 3$

Ta có : $t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\leq \sqrt{2(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}$ ; 

$A=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2}$

Xét hàm $f(t)=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2} ; t\in [3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow f'(t)=-t+1$ $\rightarrow$ hàm f(t) nghịch biến trên $[3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow min A = f(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-\frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

$\rightarrow maxA=f(3)=3 \Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=3 \Leftrightarrow x=-3 $ hoặc $x=6$




#736790 Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 15-01-2023 - 18:26

Hình như

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2 + 1} = 1 + 2 + ... + n - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$ = \dfrac{n(n+1)}{2} -  2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Thế này mới đúng chứ do $i$ chạy từ $1$ đến $n$ cơ mà

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )




#736761 Khi nào với mọi x từ 0 đến $\frac{\pi}{2}...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 14-01-2023 - 18:19

Đặt $t=sinx$ ; với $t\in [0;1]$

GT $\Leftrightarrow m(4t^{3}-2t^{2}-3t+2)\leq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2}$   ( vì $4t^{3}-2t^{2}-3t+2 >0$ )

Xét hàm $f(t)=\frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2} ; t\in [0;1]$

 $\rightarrow f'(t)<0$ $\rightarrow$ $m \leq f(1)=1$




#736628 A= $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 04-01-2023 - 18:40

Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$

 $\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$

$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$

Dấu "=" <=> $y=2;x=0$

+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra  min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min 




#736591 Phân tích thừa số nguyên tố $\frac{10^{17}- 1}...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 01-01-2023 - 09:56

$\frac{10^{17}-1}{9}=2071723$ x $5363222357$




#736411 Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 22-12-2022 - 18:20

 

Phân tích thành nhân tử luôn, né xét điều kiện:

$7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}+x+2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-2x+1)=0$

 

Anh ơi Em nghĩ mình cần xét trường hợp $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}=0$ vì biết đâu 1 khả năng nhỏ đó là nghiệm của pt thì sao ?


  • NAT yêu thích


#736408 Giải phương trình: $4x^{3}+13x^{2}-14x=3-\sqrt...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 22-12-2022 - 18:13

PT $\Leftrightarrow 4x^{3}+13x^{2}-12x=2x+3-\sqrt{15x+9}$

$\Leftrightarrow x(4x-3)(x+4)=\frac{4x^{2}-3x}{2x+3+\sqrt{15x+9}}$

Suy ra 2 nghiệm là $x=0;x=\frac{3}{4}$

Và TH còn lại : $x+4=\frac{1}{2x+3+\sqrt{15x+9}}$  (*)

Với đk : $x\geq \frac{-3}{5}$ suy ra $ VT (*) >3>VP (*) $




#736406 Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 22-12-2022 - 18:02

Cách 2: $PT \Leftrightarrow 10x^{2}+3x-6=2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Tới đây ta liên hợp sẽ ra nhân tử chung là $7x^{2}-4x-8$ ( và trước đó ta cần xét đk $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}\neq 0$) 




#736375 $\sqrt{1+x^2}+1=x\left(\sqrt{y+2}+...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 20-12-2022 - 21:11

Từ (1) $\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}=\sqrt{y+1+1}+\sqrt{y+1}$

$\rightarrow \frac{1}{x}=\sqrt{y+1}$

Thế vào (2) có: $y^{2}+y-\sqrt{y+1}-\sqrt{3y+2}=0 \Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$


  • NAT yêu thích


#736316 Giải phương trình:$x^{4}-2\sqrt{2}x^{2...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 17-12-2022 - 18:30

$x=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{4\sqrt{2}-3})$

 

$x=\frac{1}{2}(\sqrt{4\sqrt{2}-3}-1)$

 

$x=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1+4\sqrt{2}})$

 

$x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4\sqrt{2}})$




#736063 $4^{2x+\sqrt{x+2}}+2^{x^{3}}=4^{2+\sqrt{x+2}}+2^{x^{3}+4x-4}...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 04-12-2022 - 18:29

$PT \Leftrightarrow 4^{\sqrt{x+2}}(4^{2x}-4^{2})=2^{x^3}(2^{4x-4}-1)$

$\Leftrightarrow 4^{\sqrt{x+2}}.(2^{4x}-16)=2^{x^3}.(\frac{2^{4x}}{16}-1)$

$\Leftrightarrow (2^{4x}-16)(4^{\sqrt{x+2}}-\frac{2^{x^{3}}}{16})=0$

Đến đây bạn giải tiếp nha 




#735377 Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac...

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 18-10-2022 - 21:05

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2022u_{n}(u_{n}^{2}+1)}{2022(u_{n}^{2}+1)-u_{n}}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{2022(u_{n}^{2}+1)}\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})\Leftrightarrow \frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Có: $\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=n-2022(\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{n+1}})$

$lim \frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=lim\frac{n-\frac{2022}{2023}}{2n+1}=\frac{1}{2}$




#735376 Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 18-10-2022 - 20:42

Lời giải đã có tại đây: https://diendantoanh...a-mãn-1xx2x32y/




#735375 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $3^y=x^2-5x+7$

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 18-10-2022 - 20:41

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $3^y=x^2-5x+7$

+)TH1: $y=0 \Rightarrow x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow x=2;x=3$

+)TH2: $y=1\Rightarrow x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow x=1;x=4$

+)TH3: $y\geq 2$

$3^{y}=(x-2)(x-3)+1 \Rightarrow x\equiv 1(mod3)\Rightarrow x=3k+1(k\in N)$

Thế vào PT đầu có : $9k^{2}-9k+3=3^{y}\Leftrightarrow 3k^{2}-3k+1=3^{y-1}$

Mà $3^{y-1}\vdots 3;3k^{2}-3k+1 \equiv 1(mod3)$

Điều này vô lí 




#735303 Min $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$

Gửi bởi Le Tuan Canhh trong 11-10-2022 - 19:52

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1-16xyz}{4}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$