Le Tuan Canhh

GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy & \\ 7xy+y-x=7 & \end{matrix}\right.$

 Giải phương trình 

 $4\sqrt[3]{4x+3}=x ^{3} +3$

PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{x}{2}+\frac{3}{8}}=\frac{x^{3}}{8}+\frac{3}{8}$

Đặt : $y=\sqrt[3]{\frac{x}{2}+\frac{3}{8}} \Rightarrow y^{3}=\frac{x}{2}+\frac{3}{8}$

Ta có hệ sau : $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{8}+\frac{3}{8}=y & \\ \frac{x}{2}+\frac{3}{8}=y^{3} & \end{matrix}\right.$

Cho x,y,z >0 . CM : $\frac{2 x^{2}+x y}{(y+\sqrt{z x}+z)^{2}}+\frac{2 y^{2}+y z}{(z+\sqrt{x y}+x)^{2}}+\frac{2 z^{2}+z x}{(x+\sqrt{y z}+y)^{2}} \geq 1$

Đánh giá được : $P\geq \frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}= \frac{1}{bc+1}+\frac{b+c+1}{c+1}+\frac{b+c+1}{b+1}-2$$\geq \frac{1}{\frac{(b+c)^{2}}{4}+1}+(b+c+1)(\frac{4}{b+c+2})-2$

Đặt x = b + c  ( $x\geq 2$ )

Xét hàm $f(x)=\frac{4}{x^{2}+4}+\frac{4(x+1)}{x+2}-2$   ; ( $x\geq 2$ )

$\Rightarrow f'(x)=\frac{-8x}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{4}{(x+2)^{2}}=\frac{4(x-2)^{2}(x^{2}+2x+4)}{(x^{2}+4)^{2}(x+2)^{2}}\geq 0$

Suy ra hàm số luôn đồng biến / $[2;+\infty )$

$\rightarrow P\geq minf(x)=f(2)=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$

Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$

Cho 3 tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng, đôi 1 hợp với nhau 1 góc $\alpha$ . Gọi A,B,C là các điểm lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz sao cho: OA=a,OB=b,OC=c. Khi $\alpha$ thay đổi;a,b,c không đổi. Xác định $\alpha$ để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất.

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

Ý tưởng là tách ra dạng tổng 2 bình phương nên có thể tách tùy ý vì dấu bằng của minxcopki là :$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Ví dụ có thể tách thành : $6x^{2}+8xy+11y^{2}=\frac{50}{11}x^{2}+(\frac{4}{\sqrt{11}} x+\sqrt{11}y)^{2}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

Biến đổi tương tự suy ra

$P\geq \sum \sqrt{(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+(\frac{5}{\sqrt{3}}y)^{2}}$

Áp dụng BĐT Minxcopki : $\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{b^{2}+y^{2}}+\sqrt{c^{2}+z^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(x+y+z)^{2}}$

$P\geq \sqrt{[(\sqrt{6}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})(x+y+z)]^{2}+[\frac{5}{\sqrt{3}}(x+y+z)]^{2}}=15$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{2}-1} - \sqrt{x^{3}-2} + x=0$

Một cách liên hợp khác : 

PT $\Leftrightarrow$$\sqrt{x^{3}-2}-x-\sqrt[3]{x^{2}-1}=0$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{x^{3}-2}-2x+1)+(x-\sqrt[3]{x^{2}-1})=0 $

     $\Leftrightarrow \frac{x^{3}-4x^{2}+4x-3}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x^{3}-4x^{2}+3x}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x(x-1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}$

     $\Leftrightarrow (x-3)[\frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x^{3}-2}+2x-1}+\frac{x(x-1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{x^{2}-1}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}]=0$

Với $x\geq \sqrt[3]{2}>1$ nên suy ra cái cụm dài dài kia luôn > 0

Giải phương trình:

$(x+10)(\sqrt{x+3}-3)=\frac{8x^{2}-54x+36}{x^{2}+1}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+2}-3x^{2}y+2)(\sqrt{4y^{2}+1}+1)=8x^{2}y^{3} & \\ x^{2}y-x+2=0 & \end{matrix}\right.$

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{3}}{2(z+x)y}+\frac{y^{3}}{2(x+y)z}+\frac{z^{3}}{2(y+z)x}$

Thêm 1 bài nữa nhé.
Bài 3: Có bao nhiêu từ có 7 chữ cái được lập từ các chữ cái của từ $"TOAN"$ sao cho 3 chữ cái kế nhau thì khác nhau.

Để dễ nhìn tao xét từ 4 chữ cái a,b,c,d 

TH1: Có 3 chữ cái được chọn 2 lần.

Không mất tính tổng quát ta giả sử có: 2a,2b,2c và 1d ( có $\textrm{C}_{4}^{3}$ cách chọn )

Để 3 chữ cái kề nhau khác nhau thì 2 chữ cái giống nhau cách nhau ít nhất 2 khoảng trống nên

+) xếp 6 chữ cái ( tạo thành từ 3 chữ cái được chọn 2 lần )  ví dụ như abcabc  , bcabca ,... có : 3! = 6 (cách)

+) xếp chữ cái còn lại vào 1 trong 7 khoảng trống có : 7 ( cách)  ví dụ như _a_b_c_adb_c_ 

Như vậy có tất cả : $\textrm{C}_{4}^{3}.6.7=168$ ( cách)

TH2:Có 1 chữ cái được chọn 3 lần, 1 chữ cái được chọn 2 lần, 2 chữ cái được chọn 2 lần

Không mất tính tổng quát ta giả sử có: 3a,2b,1c,1d ( có 12 cách chọn )

+) Ta buộc phải xếp chữ cái a như sau : a_ _a_ _a

+) Xếp chữ cái b có 2 cách : ab_ab_a hoặc a_ba_ba

+) Xếp c,d vào 2 vị trí còn lại có 2 cách 

Theo quy tắc nhân ta có tất cả: 12.2.2=48 (cách)

Vậy có 168+48=216 

P/s: Em làm theo kiến thức 11, sai sót gì mong anh chỉ bảo 

Trong mp (SAC) Kẻ $AD\perp SC $ 

Dễ dàng CM được: $BC\perp (SAC)$ =>  $BC \perp AD$

Từ đó suy ra $AD \perp (SBC) $ => d(A,(SBC) = AD

Tính AD :  Tam giác SAC vuông tại A nên $\frac{1}{AD^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$ => $AD = \frac{\sqrt{3}a}{2}$

Ý  0 -1 Bắc Macedonia