Le Tuan Canhh

Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x} \Rightarrow t^{2}=9+2\sqrt{(x+3)(6-x)}\geq 9$  $\Rightarrow t\geq 3$

Ta có : $t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\leq \sqrt{2(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}$ ; 

$A=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2}$

Xét hàm $f(t)=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2} ; t\in [3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow f'(t)=-t+1$ $\rightarrow$ hàm f(t) nghịch biến trên $[3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow min A = f(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-\frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

$\rightarrow maxA=f(3)=3 \Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=3 \Leftrightarrow x=-3 $ hoặc $x=6$

Hình như

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2 + 1} = 1 + 2 + ... + n - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$ = \dfrac{n(n+1)}{2} -  2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Thế này mới đúng chứ do $i$ chạy từ $1$ đến $n$ cơ mà

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )

Đặt $t=sinx$ ; với $t\in [0;1]$

GT $\Leftrightarrow m(4t^{3}-2t^{2}-3t+2)\leq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2}$   ( vì $4t^{3}-2t^{2}-3t+2 >0$ )

Xét hàm $f(t)=\frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2} ; t\in [0;1]$

 $\rightarrow f'(t)<0$ $\rightarrow$ $m \leq f(1)=1$

Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$

 $\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$

$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$

Dấu "=" <=> $y=2;x=0$

+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra  min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min 

$\frac{10^{17}-1}{9}=2071723$ x $5363222357$

 

Phân tích thành nhân tử luôn, né xét điều kiện:

$7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}+x+2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-2x+1)=0$

 

Anh ơi Em nghĩ mình cần xét trường hợp $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}=0$ vì biết đâu 1 khả năng nhỏ đó là nghiệm của pt thì sao ?

PT $\Leftrightarrow 4x^{3}+13x^{2}-12x=2x+3-\sqrt{15x+9}$

$\Leftrightarrow x(4x-3)(x+4)=\frac{4x^{2}-3x}{2x+3+\sqrt{15x+9}}$

Suy ra 2 nghiệm là $x=0;x=\frac{3}{4}$

Và TH còn lại : $x+4=\frac{1}{2x+3+\sqrt{15x+9}}$  (*)

Với đk : $x\geq \frac{-3}{5}$ suy ra $ VT (*) >3>VP (*) $

Cách 2: $PT \Leftrightarrow 10x^{2}+3x-6=2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Tới đây ta liên hợp sẽ ra nhân tử chung là $7x^{2}-4x-8$ ( và trước đó ta cần xét đk $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}\neq 0$) 

Từ (1) $\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}=\sqrt{y+1+1}+\sqrt{y+1}$

$\rightarrow \frac{1}{x}=\sqrt{y+1}$

Thế vào (2) có: $y^{2}+y-\sqrt{y+1}-\sqrt{3y+2}=0 \Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$x=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{4\sqrt{2}-3})$

$x=\frac{1}{2}(\sqrt{4\sqrt{2}-3}-1)$

$x=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1+4\sqrt{2}})$

$x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4\sqrt{2}})$

$PT \Leftrightarrow 4^{\sqrt{x+2}}(4^{2x}-4^{2})=2^{x^3}(2^{4x-4}-1)$

$\Leftrightarrow 4^{\sqrt{x+2}}.(2^{4x}-16)=2^{x^3}.(\frac{2^{4x}}{16}-1)$

$\Leftrightarrow (2^{4x}-16)(4^{\sqrt{x+2}}-\frac{2^{x^{3}}}{16})=0$

Đến đây bạn giải tiếp nha 

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2022u_{n}(u_{n}^{2}+1)}{2022(u_{n}^{2}+1)-u_{n}}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{2022(u_{n}^{2}+1)}\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})\Leftrightarrow \frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Có: $\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=n-2022(\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{n+1}})$

$lim \frac{1}{2n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}^{2}}{u_{i}^{2}+1}=lim\frac{n-\frac{2022}{2023}}{2n+1}=\frac{1}{2}$

Lời giải đã có tại đây: https://diendantoanh...a-mãn-1xx2x32y/

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $3^y=x^2-5x+7$

+)TH1: $y=0 \Rightarrow x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow x=2;x=3$

+)TH2: $y=1\Rightarrow x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow x=1;x=4$

+)TH3: $y\geq 2$

$3^{y}=(x-2)(x-3)+1 \Rightarrow x\equiv 1(mod3)\Rightarrow x=3k+1(k\in N)$

Thế vào PT đầu có : $9k^{2}-9k+3=3^{y}\Leftrightarrow 3k^{2}-3k+1=3^{y-1}$

Mà $3^{y-1}\vdots 3;3k^{2}-3k+1 \equiv 1(mod3)$

Điều này vô lí 

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1-16xyz}{4}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$