Le Tuan Canhh

Bạn cho mình hỏi với nếu như nó có nghiệm là $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ thì làm sao mình phân tích nó ra được nhân tử $x^2 - 5x + 1 = 0$ vậy?

Biết trước nghiệm thì có : $(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5-\sqrt{21}}{2})=0 \Rightarrow x^{2}-5x+1=0$

PT đầu chuyển vế bp sẽ quy về pt bậc 4, sẽ tách đc ra pt bậc 2 là : $x^{2}-5x+1=0$

Nhận thấy số cần tìm là số có 4 chữ số sao cho $\overline{abcd}+a+b+c+d=2023$ $\Leftrightarrow 1001a+101b+11c+2d=2023$

+) Nếu $a=1\rightarrow 101b+11c+2d=1022$  $\rightarrow b=9$  ( vì b từ 0 tới 8 , thì với bất kỳ giá trị của c và d đều không thỏa mãn )

    $\Rightarrow 11c+2d=113 \rightarrow c=9 \rightarrow d=7$ ( từ c=8 không thỏa mãn)

+) Nếu $a=2\Rightarrow 101b+11c+2d=21\rightarrow b=0\Rightarrow 11c+2d=21\rightarrow c=1;d=5$

$\rightarrow 1997 ; 2015$

+) 20 đỉnh nên có 10 đường kính, chọn 2 trong 10 đường kính là 2 đường chéo của hcn 

+) $p(A)=\frac{n(A)}{n(\omega )}=\frac{\textrm{C}_{10}^{2}}{\textrm{C}_{20}^{4}}=\frac{3}{323}$

TQ: với đa giác đều 2n đỉnh , tạo được $\textrm{C}_{n}^{2}$ hcn 

Có : $\int \frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}dx= \int \frac{e^{x}}{x+1}dx-\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}dx=\frac{e^{x}}{x+1}+\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}dx-\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}dx=\frac{e^{x}}{x+1}$

$I=\int_{-\infty}^{ -2}\frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }[\int_{a}^{-2}\frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}]\Rightarrow I=\lim_{a\rightarrow -\infty }[\frac{e^{-2}}{-2+1}-\frac{e^{a}}{a+1}]=\frac{-1}{e^{2}}$

Đặt $a=\sqrt{1+x};b=\sqrt{1-x}\rightarrow (ab)^{2}=1-x^{2}$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=a^{2}b^{2}+1 & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+2ab=(ab)^{4}+2(ab)^{2}+1 & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right.$

Thế (2) vào (1) có : $2+2(ab)=(ab)^{4}+2(ab)^{2}+1\Leftrightarrow (ab-1)((ab)^{3}+(ab)^{2}+3ab+1)=0$

Vời $ab\geq 0$  suy ra $ab=1$ $\Rightarrow 1-x^{2}=1\Leftrightarrow x=0$

tại sao tìm được : $a=b=c=d=\frac{1}{2};$ ạ, mk vx ko hiểu lắm

Pp hệ số bất định

$4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=4(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=4x^{4}+4(a+c)x^{3}+4(b+d+ac)x^{2}+4(bc+ad)x+4bd$

Đồng nhất hệ số : ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} a+c=1 & \\ b+d+ac=\frac{5}{4} & \\ bc+ad=\frac{1}{2} & \\ bd=\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.$

Cách 1 là nhẩm : ta sẽ nhẩm $bd=\frac{1}{4}$ trước , ta thử b, d bằng các giá trị như $(\frac{1}{2};\frac{1}{2});(\frac{1}{4};1)(\frac{1}{8};2)...$ , rồi thay vào tìm a và c , thường thì  các giá trị abcd sẽ dễ nhẩm 

Còn nếu nhẩm không ra thì ta đành giải hệ thoi 

Cách 2: Giải hệ : Ta có: $\left\{\begin{matrix} c=1-a & \\ d=\frac{1}{4b} & \end{matrix}\right.$  Thế vào 2 pt còn lại ta có :

 $\left\{\begin{matrix} b+\frac{1}{4b}+a(1-a)=\frac{5}{4} (1) & \\ b(1-a)+\frac{a}{4b}=\frac{1}{2} (2)& \end{matrix}\right.$ 

Từ (2) $\rightarrow 4b^{2}-4ab^{2}+a+2b=0\Leftrightarrow (4b^{2}-2b)+(a-4ab^{2})=0\Leftrightarrow (2b)(2b-1)+a(1-2b)(1+2b)=0\Leftrightarrow (2b-1)(2b-a-2ab)=0$

Suy ra $b=\frac{1}{2}$ tìm được a,c,d thấy thỏa mãn nên chọn $a=b=c=d = \frac{1}{2}$

Ta ko phải xét $2b-a-2ab=0$ làm gì nữa vì đã tìm ra đáp án rồi 

Ta có:$\large{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}$

 

$= \large{2(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1) + 2(x + y + 1)}$

 

$= \large{2(x-y-1)^2 + 2(x + y + 1)}$

Thử hỏi là bạn đã tách $\large{\dfrac{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}{\sqrt{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}}}$ ra $\large{\dfrac{(x-y-1)(x-y-2)}{\sqrt{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}}}$ ra như nào

2 ĐK ,pt2 $\Leftrightarrow (x-y-1)(\frac{x-y-2}{\sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{x}})=0$

Ý tưởng biến đổi của họ là : $PT\Leftrightarrow \sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}-2\sqrt{x}=\sqrt{y+1}-\sqrt{x}$  , rồi liên hợp sẽ có nhân tử chung x-y-1

Không phải là $PT\Leftrightarrow \sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}=\sqrt{y+1}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}{\sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}}=\frac{y+1-x}{\sqrt{y+1}-\sqrt{x}}$

Cách 1:

$4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=4(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)$

GHPT $\left\{\begin{matrix} a+c=1 & \\ b+d+ac=\frac{5}{4} & \\ bc+ad=\frac{1}{2} & \\ bd=\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.$

Tìm được : $a=b=c=d=\frac{1}{2};$

$4x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+2x+1=(2x^{2}+x+1)^{2}$

Cách 2; $4x^{4} +4x^{3}+5x^{2}+2x+1=(\sqrt{2}x)^{4}+\sqrt{2}.(\sqrt{2}x)^{3}+\frac{5}{2}(\sqrt{2}x)^{2}+\sqrt{2}(\sqrt{2}x)+1$

Đặt $t=\sqrt{2}x$ rồi chia cho $t^{2}$ chuyển về dạng quen thuộc

Đặt $t=\sqrt{2+\sqrt{x+1}}$ $\Rightarrow x+1 = (t^{2}-2)^{2}$   ( với : $t\geq \sqrt{2}$ là đk có nghiệm )

PT trở thành : $\frac{(t^{2}-2)^{2}}{t}=2(t^{2}-2)^{2}-1\Leftrightarrow 2t^{5}-t^{4}-8t^{3}+4t^{2}+7t-4=0$$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-1)(2t^{2}-t-4)=0$

$\Rightarrow t=1 ; t= -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2} ; t=\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{33}}{4}$

Mà $t\geq \sqrt{2}\rightarrow t=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{33}}{4}\rightarrow x=\frac{\sqrt{33}}{32}-\frac{15}{32}$

$I_{1}=\int \frac{\frac{1}{x^{2}}-1}{(x+\frac{1}{x})^{2}-1}dx$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow d(t)=(1-\frac{1}{x^{2}})d(x)$ $\rightarrow I_{1}=\int \frac{1}{1-t^{2}}d(t)$

Giải được : $I_{1}=\frac{1}{2}[ln(x^{2}+x+1)-ln(x^{2}-x+1)]$

$I_{2}=\int \sqrt{x^{2}+2x+4} dx$

Có 2 cách : đặt $x+1=\sqrt{3}tan(t)$

Hoặc đặt : $t=x+1+\sqrt{x^{2}+2x+4}$

Ta đi giải hệ : $\left\{\begin{matrix} 2y^{3}=x^{3}+1  (1) & \\ x^{5}+x^{2}y^{2}(x-y)+xy=2y^{5} (2) & \end{matrix}\right.$

Từ (2) $\Rightarrow \frac{x^{5}}{y^{2}}+x^{3}-x^{2}y+\frac{x}{y}=2y^{3}$

Thế (1) vào ta có : $\frac{x^{5}}{y^{2}}-x^{2}y+\frac{x}{y}=1 \Leftrightarrow x^{5}-x^{2}y^{3}+xy-y^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)[x^{2}(x^{2}+xy+y^{2})+y]=0$

+) TH1: $x=y \Rightarrow x=y=1$

+) TH2: $x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+y=0\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+y(2y^{3}-x^{3})=0\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}y^{2}+2y^{4}=0$  ( vô nghiệm )

Vậy có duy nhất 1 điểm M (1;1)

Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x} \Rightarrow t^{2}=9+2\sqrt{(x+3)(6-x)}\geq 9$  $\Rightarrow t\geq 3$

Ta có : $t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\leq \sqrt{2(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}$ ; 

$A=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2}$

Xét hàm $f(t)=-\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{9}{2} ; t\in [3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow f'(t)=-t+1$ $\rightarrow$ hàm f(t) nghịch biến trên $[3;3\sqrt{2}]$

$\rightarrow min A = f(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-\frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

$\rightarrow maxA=f(3)=3 \Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=3 \Leftrightarrow x=-3 $ hoặc $x=6$

Hình như

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2 + 1} = 1 + 2 + ... + n - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

$ = \dfrac{n(n+1)}{2} -  2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

 

Thế này mới đúng chứ do $i$ chạy từ $1$ đến $n$ cơ mà

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )

Đặt $t=sinx$ ; với $t\in [0;1]$

GT $\Leftrightarrow m(4t^{3}-2t^{2}-3t+2)\leq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2}$   ( vì $4t^{3}-2t^{2}-3t+2 >0$ )

Xét hàm $f(t)=\frac{1}{4t^{3}-2t^{2}-3t+2} ; t\in [0;1]$

 $\rightarrow f'(t)<0$ $\rightarrow$ $m \leq f(1)=1$