KhoiNguyen213

Ta đặt $x=a+\frac{1}{b}-1,\, y=b+\frac{1}{c}-1,\, z=c+\frac{1}{a}-1.$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$xy+yz+zx \geqslant 3.$$

Theo nguyên lí Dirichlet, trong các số $x-1$, $y-1$ và $z-1$ có ít nhất hai số không trái dấu. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $y-1$ và $z-1$ không trái dấu, ta có

$$(y-1)(z-1) \geqslant 0.$$

Ta có

$$xy+yz+zx-3=(y-1)(z-1)+(x+1)(y+z)-4.$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$(x+1)(y+z) \geqslant 4.$$

sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$$y+z=b+\frac{1}{a}+c+\frac{1}{c}-2 \geqslant b+\frac{1}{a}$$

Khi đó ta có

$$(x+1)(y+z)-4\geqslant \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+ \frac{1}{a} \right )-4=ab+\frac{1}{ab}-2 \geqslant 0.$$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn : 3^x + 29 = 2^y

Một cách khác của mình

Dễ thấy $x=1 \Rightarrow y=5$. Ta xét $x \geqslant 2$ và $y \geqslant 6$.

Ta có $3^x+29 \equiv 2 \pmod{9}$. Suy ra $2^y \equiv 2 \pmod{9}$ hay $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{9}$

Mà $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$ suy ra $y-1$ chia hết cho $6$. Đặt $y=6k+1 (k \in \mathbb{N^*})$.

Ta có  $2^y=2^{6k+1}=64^k \cdot 2 \equiv  \{2, -2\} \pmod{13}.$

Ta xét trường hợp $x=3n$,  $x=3n+1$ và $x=3n+2$

*  Với $x=3n$,  $3^x+29=3^{3n}+29=27^n+29 \equiv 4 \pmod{13}$.

*   Với $x=3n+1$,  $3^x+29=3\cdot 27^n +29 \equiv 6 \pmod{13}$.

*  Với  $x=3n+2$,  $3^x+29= 9\cdot 27^n+29 \equiv -1 \pmod{13}$.

Tất cả trường hợp đều mâu thuẫn

Vậy chỉ tồn tại duy nhất cặp số nguyên dương $x=1, y=5$.