KhoiNguyen213

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức phân biệt, có hệ số thực  thỏa mãn điều kiện $P\left(Q(x)\right)=Q\left(P(x)\right)$. Chứng minh rằng $P\left(P(x)\right)-Q\left(Q(x)\right)$ chia hết cho $P(x)-Q(x).$

Cho các số thực không âm $a,\, b,\, c$ thỏa mãn $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. Chứng minh rằng

$$\frac{3\sqrt{2}}{2} \le a+b+c \le 3.$$

Cho các số thực $a,\, b,\, c,\, d$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=16.$ Chứng minh rằng

$$-3 \le ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \le 5.$$

Cho hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ cùng có bậc $4$, các hệ số đều là số hữu tỉ. Biết rằng $P(x)$ và $Q(x)$ có một nghiệm vô tỉ chung và hai nghiệm hữu tỉ phân biệt. Chứng minh rằng $P(x)$ và $Q(x)$ còn có một nghiệm chung khác nữa.