Đến nội dung


huhuhuhu

Đăng ký: 02-01-2022
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 11:41
-----

#732513 Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{2a+b...

Gửi bởi huhuhuhu trong Hôm nay, 07:43

Mình góp 1 cách hơi khác một xíu: 

Giả sử a = max{a, b, c} 

TH1: $2b + 2c \geq a$

bđt tương đương $\sum \frac{2a + 2b - c}{2a + c} \geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{2a + 2b -c}{2a + c} \geq \sum \frac{(\sum 2a + 2b - c)^2}{\sum (2a +2b - c)(2a + c)} = \frac{9(\sum a)^2}{3\sum a^2 + 6\sum ab} = 3$

TH2: $a > 2b + 2c$

chứng minh được: 

$2b + a < 2a + c$

Do đó: 

$\frac{2a + b}{2a + c} + \frac{2b + c}{2b + a} > 1 + \frac{3b}{2a + c} > 1$

mà $\frac{2c + a}{2c + b} > \frac{2c + (2b + 2c)}{2c + b} = 2$

Cộng 2 bđt ta có: $\sum \frac{2a + b}{2a + c} > 3$

Vậy bđt được chứng minh: 

dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$

Lúc đầu mình định đăng cách kia nhma có anh kia đăng r hic nên phải ngồi nghĩ cách khác :( 




#732505 $2f(x^2) \geq xf(x) + x$

Gửi bởi huhuhuhu trong 22-01-2022 - 09:35

Mình thấy có bài này khá hay, gửi các bạn tham khảo: 

cho $f:R+ \rightarrow R+$ là hàm số thỏa mãn: 

$2f(x^2) \geq xf(x) + x$ với mọi $x$ > 0 chứng minh rằng $f(x^3) \geq x^2$ với mọi $x$ > 0