Explorer

Chứng mình rằng nếu f,g là các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và f(x) = g(x) với mọi x là số hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với mọi x thuộc [a,b].

(Nếu ta thay hữu tỷ bởi vô tỷ thì bài toán còn đúng hay không?)

Khi rải đều phần diện tích xung quanh mặt cầu lên một mặt phẳng ta sẽ nhận được hình gì? 

Câu hỏi này mới chợt nảy ra trong đầu mình, kiến thức về hình học không gian của mình không nhiều, nếu mọi người có ý tưởng nào liên quan thì hãy góp ý giúp mình ạ

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$

Tìm $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x^2+f(y)-y)=f^2(x)$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). AI cắt BC tại D. N là điểm tiếp xúc của đường tròn A-mix và (O). ND cắt (O) tại điểm thứ hai là P. A đối xứng A qua O. A'I cắt (O) tại điểm thứ hai là M

a) CM M,P đối xứng nhau qua trung trực BC

b) Gọi Ia là tâm A-bàng của tam giác ABC. CM P,Ia,A' thẳng hàng

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn 

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y>N$ ($N$ là hằng số dương nào đó)

Hỏi từ đây có suy ra được $f(x)=ax$ với mọi $x>T$ hay không? (T là hằng số dương nào đó)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ $AD \perp BC$ ($D \in BC$). $K$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $\angle BKC=90^o$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. $KG$ cắt $OM$ tại $L$. $P,Q$ thuộc $BC$ sao cho $LP\parallel OB$ và $LQ\parallel OC$. $F,E$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $PF\parallel OM \parallel EQ$. CMR $(AFE),(BFM)$ và $(CEM)$ cùng đi qua điểm $I$ thỏa mãn $A,O,I$ thẳng hàng

Cho (O) cố định, dây cung BC cố định và A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. K,H lần lượt là trực tâm tam giác IAC,IAB. M là trung điểm KH. CMR AM vuông góc BC và độ dài AM luôn là hằng số khi A di động trên (O)

Cho số nguyên dương n lớn hơn 3. Viết các số $1,2,...,n^{2}$ vào các ô vuông của bảng ô vuông cỡ $n\times n$ sao cho hai ô vuông khác nhau được viết hai số khác nhau. CMR tồn tại hai ô vuông nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột sao cho hiệu của hai số được viết trên hai ô vuông đó lớn hơn $\frac{n^{2}}{2}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. D' đối xứng D qua I. EF cắt BC tại A'. A'D' cắt (I) tại điểm thứ hai là A1. Định nghĩa tương tự B1,C1. CM DA1,EB1,FC1 và OI đồng quy

Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3

Cho một đồ thị G(V,E) có 100 đỉnh. Mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 30. Chứng minh rẳng ta luôn tìm được 2 đỉnh u,v mà tập gồm u,v và các đỉnh nối với u hoặc v có ít nhất 50 phần tử

 

Cho (O) cố định và dây cung BC cố định. (O') cố định đi qua B,C; cắt AC,AB lần lượt tại E,F sao cho O' gần BC hơn O. A di động trên (O), BE cắt CF tại I. AI cắt BC tại D. FD cắt BI tại M và IC cắt DE tại N. CMR khi A di động trên (O) thì tia phân giác trong của góc MIN và đường cao đỉnh I tam giác IMN luôn đi qua điểm cố định

Cho $\Delta ABC$ không cân , nội tiếp (O) , B,C cố định , A thay đổi trên (O).Trên các tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N để $MA=MC, NA=NB$ . $(AMN)$ cắt $(ABC)$ cắt nhau tại A và P . MN cắt BC tại Q.Gọi I là tâm của $(OBC)$ , I' đối xứng I qua MN.Chứng minh $AI'\perp BC$ . 

P/s: Nguyên mẫu bài này là VMO 2014 =))) 

Bằng biến đổi góc thì ta có được M,N đều thuộc (BOC) 

Có góc I'NM = MNI = 90 - ABN = 90 - BAN = 90 - MAN nên tâm của (AMN) nằm trên I'N. Mà tâm của (AMN) thuộc trung trực MN nên I' chính là tâm (AMN)

Do đó ta có góc BAI' = MAI' = 90 - ANM = 90 - ABC nên AI' vuông góc BC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M nằm trên cung BC không chứa A. Các tiếp tuyến từ M đến (I) cắt BC tại X1,X2. Gọi N là điểm chính giữa cung BAC của (O). T là giao điểm thứ hai khác N của NI với (O). CM (MX1X2) đi qua T