Explorer

Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3

Cho một đồ thị G(V,E) có 100 đỉnh. Mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 30. Chứng minh rẳng ta luôn tìm được 2 đỉnh u,v mà tập gồm u,v và các đỉnh nối với u hoặc v có ít nhất 50 phần tử

Cho (O) cố định và dây cung BC cố định. (O') cố định đi qua B,C; cắt AC,AB lần lượt tại E,F sao cho O' gần BC hơn O. A di động trên (O), BE cắt CF tại I. AI cắt BC tại D. FD cắt BI tại M và IC cắt DE tại N. CMR khi A di động trên (O) thì tia phân giác trong của góc MIN và đường cao đỉnh I tam giác IMN luôn đi qua điểm cố định

Cho $\Delta ABC$ không cân , nội tiếp (O) , B,C cố định , A thay đổi trên (O).Trên các tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N để $MA=MC, NA=NB$ . $(AMN)$ cắt $(ABC)$ cắt nhau tại A và P . MN cắt BC tại Q.Gọi I là tâm của $(OBC)$ , I' đối xứng I qua MN.Chứng minh $AI'\perp BC$ . 

P/s: Nguyên mẫu bài này là VMO 2014 =))) 

Bằng biến đổi góc thì ta có được M,N đều thuộc (BOC) 

Có góc I'NM = MNI = 90 - ABN = 90 - BAN = 90 - MAN nên tâm của (AMN) nằm trên I'N. Mà tâm của (AMN) thuộc trung trực MN nên I' chính là tâm (AMN)

Do đó ta có góc BAI' = MAI' = 90 - ANM = 90 - ABC nên AI' vuông góc BC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M nằm trên cung BC không chứa A. Các tiếp tuyến từ M đến (I) cắt BC tại X1,X2. Gọi N là điểm chính giữa cung BAC của (O). T là giao điểm thứ hai khác N của NI với (O). CM (MX1X2) đi qua T 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Điểm M bất kì nằm trên đường trung trực của BC (M nằm trong tam giác ABC). I1,I2 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác ABM,ACM. CM (AI1I2) đi qua điểm chính giữa cung BAC của (O)

Cho $(a_{n})$: $a_{1}=-1,a_{2}=1, a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\frac{1}{3}(1+\frac{2}{n})a_{n}+1$ với mọi n nguyên dương

CMR tồn tại vô số n nguyên dương sao cho $2021a_{n}-12n<9$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn: 

$m+f(n)|f(m)-n^{4}$ với mọi m,n nguyên dương

Tìm các hợp số dương n thỏa mãn: $\sigma (n)\equiv 2 (mod \phi (n))$ với $\sigma (n), \phi (n)$ là hàm tổng các ước dương, hàm Euler của n

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) trực tâm H. CH cắt (AHB) tại M, BH cắt (AHC) tại N. DM cắt (AHB) tại X, DN cắt (AHC) tại Y. P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AXY. D là chân đường cao hạ từ A xuống BC và K là trung điểm AO. CMR: AP//DK

Tìm $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$g(x-2y-2g(y))=5g(x)$ với mọi x,y thực

A và B chơi bốc bi trên 3 đống bi. Ai lấy được viên bi cuối cùng là người chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, A lấy trước. Mỗi lượt chơi, người chơi chọn 1 đống bi bất kì và lấy đi 1 số viên (ít nhất là 1 và có thể lấy hết số bi). Hỏi ai có chiến thuật thắng nếu 3 đống bi có số bi là 2020,2021,2022

Tìm các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho với mọi f(x) hệ số thực có bậc m, tồn tại 1 đa thức hệ số thực g(x) bậc n sao cho $g(f(x))\vdots g(x)$ với mọi số thực x

Không biết có chỗ nào ngộ nhận không nhỉ...

Cho $CI, BI$ theo thứ tự cắt $EF$ tại $X,Y$.

Ta có kết quả quen thuộc $\angle BXC = \angle BYC = 90^\circ$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, kẻ phân giác $AV$ của $\Delta ABC$ thì $V$ cố định.

Cho $G$ đối xứng với $H$ qua $V$.

$AI$ cắt $(ABC)$ lại tại $K$, $J$ đối xứng với $H$ qua $K$.

$T$ đối xứng với $J$ qua $I$.

Dễ thấy $HT\parallel IK$ nên $HT\perp XY$.

Suy ra $HT$ là trung trực của $XY$ nên $TX=TY$.

Xét phép vị tự tâm $I$, tỉ số $-1$ ta suy ra $JP = JQ$.

Mà $JG\parallel VK\Rightarrow JG \perp PQ$, do đó $GP = GQ$.

Lại có $G$ cố định. Vậy trung trực của $PQ$ đi qua $G$ cố định.

mik thấy đúng r đấy

Tính $\lim_{n\rightarrow+\propto }\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1)$