Explorer

Với mỗi $n$ nguyên dương, đặt $a_{n}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{d_{i}+1}$ với $d_{1},d_{2},...,d_{k}$ là các ước nguyên dương phân biệt của $n$.
CMR $\sum_{i=1}^{n}a_{i}>n-\ln n$

Cho tam giác ABC. (O) bất kì qua B,C cắt AB,AC lần lượt tại F,E. (AEB) cắt (AFC) tại I khác A. (AEB) cắt CF tại M (F nằm giữa C,M). (AFC) cắt BE tại N (E nằm giữa B,N). Đường thẳng qua M vuông góc AM cắt BE tại U, đường thẳng qua N vuông góc AN cắt CF tại V. 

CMR: MN,UV,OI đồng quy

Gợi ý: - Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp $\Delta ABC$ thì $O$ cũng là trực tâm $\Delta A_1B_1C_1$. Khi đó $O$ là điểm Miquel của bộ điểm $A_1, B_1, C_1$ trong $\Delta ABC$
           - $H$ là trực tâm $\Delta ABC$, $O'$ là tâm ngoại tiếp $\Delta A_1B_1C_1$
           - $AH$ cắt $(AB_1C_1)$ tại $D$. Chứng minh $O'$ là tâm $(DHO)$. Chú ý $\Delta AHO\sim \Delta DOO'$                    

Hình như bạn nhầm cặp tam giác r s ý. AHO vs DOO' mik vẽ ra ko đồng dạng

Chỉ cần i) và iii) là đủ thì phải.

Ta có thể giả sử $f(1) = 1$, nếu $f(1)\neq 1$ thì đặt hàm phụ.

Do $f$ là hàm cộng tính, với mọi $k\in\mathbb Q, x\in\mathbb R$ thì $f(xk) = kf(x)$.

Với mọi $x\in\mathbb R; x\neq 0$, xét $k$ là số hữu tỉ bất kì.

Sử dụng tính cộng tính của $f$, ta có $f\left((x+k)^{2021}\right) = f\left(x^{2021} + \sum_{i=1}^{2020}\binom{2021}{i}x^{2021 - i}k^i + k^{2021}\right) = f\left(x^{2021}\right) + \sum_{i=1}^{2020}\left[\binom{2020}{i}k^if\left(x^{2021-i}\right)\right] + k^{2021}$.

Đồng thời ta có $f^{2021}(x+k) = (f(x)+k)^{2021} = f^{2021}(x) + \sum_{i=1}^{2020}f^{2021-i}(x)k^i + k^{2021} = f\left(x^{2021}\right) + \sum_{i=1}^{2020}k^i . f^{2021-i}(x) + k^{2021}$.

Do $f\left((x+k)^{2021}\right) = f^{2021}(x+k)$ nên suy ra $\sum_{i=1}^{2020}\left[\binom{2020}{i}k^if\left(x^{2021-i}\right)\right] = \sum_{i=1}^{2020}k^i . f^{2021-i}(x)$.

Xét hai vế là hai đa thức với biến $k$. Do hai đa thức này bằng nhau tại vô số điểm $k$ (hữu tỉ) nên hai đa thức này bằng nhau, tức $f\left(x^{2021-i}\right) = f^{2021-i}(x),\forall i = 1,2,...,2020$.

Do đó $f(x^2) = f(x)^2,\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $x+y$ ta có $f(x^2) + 2f(xy) + f(y^2) = f(x)^2 + 2f(x)f(y) + f(y)^2,\forall x,y\in\mathbb R$.

Dẫn đến $f(xy) = f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb R$, hay $f$ là hàm nhân tính.

$f$ vừa là hàm cộng tính vừa là hàm nhân tính nên $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$.

mik nghĩ từ ii) có thể suy ra f(x)=x với x hữu tỷ hoặc f(x)=-x với x hữu tỷ

từ đó theo cách trên có thể bổ sung thêm TH f(x)=-x với mọi x

Cho tam giác nhọn A1B1C1. Trên các cạnh B1C1,C1A1,A1B1 lần lượt lấy A,B,C sao cho $\triangle ABC\sim \triangle A1B1C1$.CMR các trực tâm của tam giác ABC và A1B1C1 cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

i)$f(x+y)=f(x)+f(y)$ với $\forall x,y\epsilon \mathbb{R}$

ii)$f(f(y))=y$ với $\forall x,y\epsilon \mathbb{R}$

iii)$f(x^{2021})=f^{2021}(x)$ với $\forall x,y\epsilon \mathbb{R}$

Cho ($x_{n}$): $x_{1}=\frac{\Pi }{2}$ và $x_{n+1}=x_{n}+sinx_{n}+cosx_{n}$

Chứng minh $x_{n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$

Tìm các hàm số f:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2}) \forall x,y \mathbb{R}$$

CMR tồn tại vô hạn các cặp số nguyên dương (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho với mỗi cặp đó phương trình $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhau

Cho x,y là các số nguyên dương. Nếu với mọi n nguyên dương ta có $(ny)^{2}+1 | x^{\varphi (n)}-1$. CMR x=1 

Chứng minh rằng tồn tại i,j nguyên dương sao cho $10^{i}+10^{j}+1 \vdots 2003$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). S là tâm (OBC). K,L lần lượt đối xứng với S qua AB,AC. CM KL đi qua tâm Euler của tam giác ABC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và I là điểm bất kì nằm trên tia phân giác góc BAC. BI cắt AC và (O) lần lượt tại N và F. CI cắt AB và (O) lần lượt tại M và E. Chứng minh tiếp tuyến tại A của (O), EF, MN đồng quy tại S sao cho SI//BC

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). AI vắt (O) tại J khác A. U,V lần lượt là trung điểm JB,JC. Đường thẳng qua O vuông góc JC cắt đường thẳng qua I vuông góc với IB tại N. Đường thẳng qua O vuông góc JB cắt đường thẳng qua I vuông góc IC tại M. CMR MN tiếp xúc với (J,JU)