Đến nội dung


Math04

Đăng ký: 10-01-2022
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 14:50
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh $d(n) \leq 2\sqrt{n}$ với mọi số...

05-08-2022 - 23:39

Mình nhầm đó bạn, với mọi $p_i\geq 5$ thì đánh giá chặt $p_1^{k_1} > (p_1+1)^2$ luôn.
Với $p_i\in\{2;3\}$ mà $k_i \geq 3$ thì cũng đánh giá chặt được như vậy.
Việc còn lại là thử.

Bạn có thể trình bày chi tiết giúp mình với

Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $(u_...

04-08-2022 - 23:20

À đây là đề duyên hải K11 năm nay đúng không ạ? KQ câu b là $$n = p^{q-1}$$ với p, q là các số nguyên tố

Bạn có thể giải chi tiết giúp mình với mình đọc lời giải trên mạng nhưng có lẻ chưa chặt chẽ lắm


Trong chủ đề: Chứng minh $d(n) \leq 2\sqrt{n}$ với mọi số...

04-08-2022 - 22:15

Viết $n = p_1^{k_1} . p_2^{k_2} ... p_h^{k_h}$.

Khi đó $d(n) = (k_1+1)(k_2+1)...(k_h+1)$.

Ta sẽ chứng minh: $k_1+1 \leq 2\sqrt{p_1^{k_1}}$ hay $(k_1+1)^2 \leq 4p_1^{k_1}$.

Nhận thấy VT là một đa thức bậc hai, còn VP là một luỹ thừa nên bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng quy nạp.

Tương tự với $k_2,...,k_h$ ta có đpcm.

Bạn cho mình hỏi nếu làm như vậy thì khi ta nhân các bất đẳng thức đó lại thì sẽ được $d(n) \leq 2^h\sqrt{n}$ thì vẫn chưa có điều cần chứng minh mà bạn. 


Trong chủ đề: Tìm giới hạn của $u_{n}$

01-08-2022 - 20:55

Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn 

$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$

thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.

 

Quay lại bài toán.

Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 

$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$

Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra

$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$

Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.

 

P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây

Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với


Trong chủ đề: $\frac{\sigma (n)}{n}>\frac...

28-06-2022 - 20:54

Bạn đang nói tới hàm $\phi$ Euler đếm số các số nguyên tố cùng nhau với $n$ đúng không? Nếu thế thì bài toán trên là hiển nhiên khi chọn $n$ nguyên tố bất kỳ.

Mình đang nói về hàm tổng các ước á bạn