Math04

Trong không gian với mục tiêu trực chuẩn $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2=1$.

a) Lập phương trình mặt nón có đỉnh $A(0;0;5)$ và ngoại tiếp mặt cầu $(S)$.

b) Lập phương trình của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp $(S)$ và có trục quay là đường phân giác trong của góc $\widehat{xOy}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $L, E$ lần lượt là điểm Lemoine và tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau tại $X$. Định nghĩa tương tự cho $Y,Z$. Chứng minh $L,E$ và trực tâm tam giác $XYZ$ thẳng hàng.

 

screenshot_1700968049.png

Ta có: $\angle SNB=\angle SAX-\angle XAB=\frac{1}{2}\angle XAY-\angle NAB=\angle BAC-\angle NAB=\angle NAC$

Suy ra $AN$, $AS$ đẳng giác trong góc $A$ nên $AS$ đi qua tâm $Z$ của $(BOC)$ với $O$ là tâm $(ABC)$

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$

Ta có:

$BS^{2}=\frac{BA^{2}}{2}+\frac{BZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$CS^{2}=\frac{CA^{2}}{2}+\frac{CZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$BN^{2}=\frac{BH^2}{2}+\frac{BO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

$CN^{2}=\frac{CH^2}{2}+\frac{CO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

Suy ra:

$(BS^2-BN^2)-(CS^2-CN^2)=(BA^2-BH^2)-(CA^2-CH^2)=0$

Áp dụng định lí 4 điểm ta có luôn $SN$ vuông góc $BC$ (dpcm)

 

 Bạn ơi cho mình hỏi làm sao chứng minh $Z$ thuộc $(AXY)$ nhỉ

Việc hỏi bài trên diễn đàn không có gì sai nhé các bạn, cứ mạnh dạn đăng bài nếu cần sự giúp đỡ. Nhưng cũng có thể @chuyenndu không phải chỉ trích gì mà chỉ có ý khuyến khích @Math04 tham gia thảo luận hơn mà thôi, em nên xem đó như là một lời góp ý.

 

Việc học trên diễn đàn nếu chỉ hỏi bài thôi thì hơi uổng. @Math04 thử tìm những bài chưa giải (có rất nhiều) và thử giải xem sao, anh nghĩ là có nhiều bài vừa sức với em đấy, như thế sẽ học được nhiều hơn. Ngoài ra lúc em hỏi bài, thì cũng có thể trình bày xem là mình đã cố gắng làm như thế nào, bí chỗ nào, như thế thì mọi người có thể gợi ý cho em tự làm tiếp, sẽ hiệu quả hơn cho em đấy. Có thể thử bắt đầu với bài ở trên chẳng hạn 

Em cám ơn anh ạ

mình thấy bạn này chỉ toàn hỏi bài nhỉ?

Mình thắc mắc nên mới hỏi thôi bạn, với mình cũng không chuyên lắm nên mình cũng đâu đi giải bài khác được bạn. Mình nghĩ diễn đàn lập ra để trao đổi, những người chưa biết thì phải hỏi thôi bạn?

Cho $a,b,c>0$. Dùng phương pháp $p,q,r$ hãy chứng minh: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq2$

Ta gọi một cách điền "rất đẹp" nếu như đó là cách điền đẹp và có hai ô cuối cùng có số giống nhau.

Thế thì gọi $b_n$ là số cách điền "rất đẹp".

+) Tính $a_{n+1}$: Với mỗi cách điền $n$ ô trước là "đẹp" nhưng không phải "rất đẹp" ta có $2$ cách điền ô thứ $n+1$. Đồng thời với mỗi cách điền $n$ ô trước "không đẹp" ta có duy nhát $1$ cách điền ô thứ $n=1$. Do đó $a_{n+1} = 2a_n - b_n$.

+) Tính $b_{n+1}$: Giả sử ô thứ $n$ và $n+1$ đều là $0$. Thế thì ô thứ $n-1$ là $1$, và số cách điền lúc này chính là số cách điền $n-2$ ô đầu tiên có hai vị trí cuối không cùng bằng $1$, và bằng $a_{n-2} - \frac{b_{n-2}}{2}$.

Suy ra $b_{n+1} = 2a_{n-2} - b_{n-2}$.

Kết hợp lại ta có công thức truy hồi: $\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n - b_n \\ b_{n+1} = 2a_{n-2} - b_{n-2}\end{cases}$

$\Rightarrow b_n = 2a_n - a_{n+1},\forall n\geq 1\Rightarrow 2a_{n+1} - a_{n+2} = 2a_{n-2} - 2a_{n-2} + a_{n-1},\forall n\geq 3$

$\Rightarrow a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n-1},\forall n\geq 3$.

Tính được: $a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6, a_4 = 10$. Do đó ta có $a_{n+3} = 2a_{n+2} - a_n,\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ đây dễ dàng tìm được CTTQ của $(a_n)$.

Hoàng có thể chia sẻ cách em học các phân môn không nhỉ cũng như từng tài liệu/ nguồn bài mà em tham khảo

Xét hình chữ nhật $1 \times n$ gồm $n$ ô vuông $1 \times 1$. Mỗi ô điền số $0$ hoặc $1$. Một cách điền "đẹp" nếu như ba ô liên tiếp nhau bất kỳ đều không chứa ba số giống nhau. Với mỗi $n \geq 3$, gọi $a_n$ là số cách điền "đẹp". Tính $a_n$.

Với số thực $x$ có phần lẻ khác $\frac{1}{2}$, ta kí hiệu $<x>$ là số nguyên gần nhất với $x$. Xét dãy: $a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{<\sqrt{k}>}-2\sqrt{n}, n=1,2...$.

a) Chứng minh dãy trên hội tụ và tìm giới hạn đó.

b) Đặt $b_n=\sqrt{n}(a_n-L)$ với $L=lima_n$. Chứng minh với mọi số thực $\alpha \in [0;\frac{1}{4}]$, luôn tồn tại một dãy con của $(b_n)$ có giới hạn bằng $\alpha$

Gọi $p_k$ là số nguyên tố thứ $k$ và gọi $a_n=\prod_{k=1}^{n}p_k$. Chứng minh rằng với $n \in \mathbb{N}$ mọi số nguyên dương nhỏ hơn $a_n$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của tối đa $2n$ ước phân biệt của $a_n$.

Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực, có bậc không nhỏ hơn $1$. 

a) Khi đó $\forall \varepsilon >0$, chứng minh tồn tại $c$ sao cho $|P(x)| > c, \forall |x| > c$. 

b) Chứng minh tồn tại số thực $c > 0$ sao cho $P(x)$ đơn điệu trên $(−∞, −c)$ và $(c, +∞)$

IMO 2018

https://artofproblem...671291p10632353

Bạn có kinh nghiệm gì khi mà tìm bài trên AOPS không nhỉ kiểu gõ công thức hay là gõ đề vào tại nhiều lúc mình tìm mà không ra. Với tìm ngay chỗ Search Community hay là Advanced Community Search nhỉ

Cho $S$ là một bội nguyên dương của tất cả các số từ $2$ đến $2019$ và $n$ số nguyên dương $a_{1},...,a_{n}$ thuộc $M=\left \{ 1,2,...,2019 \right \}$ có tổng bằng $2S$. Chứng minh có thể chọn ra một vài số trong $n$ số này mà có tổng bằng $S$.

Cho dãy: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & & \\ u_{n+1}=(1+\frac{3}{n})u_n+2-\frac{3}{n} & & \end{matrix}\right.$ Chứng minh dãy đã cho là dãy nguyên.

Cho dãy các số thực dương $(a_{n})$ thỏa hai tính chất: $\left\{\begin{matrix} a_{n+1}\leq a_{n}+a_{n}^2, \forall n \geq1 & & \\ a_{1}+a_{2}+...+a_{n} < M,\forall n \geq1 & & \end{matrix}\right.$ ($M$ là hằng số dương). Tìm lim$(na_{n})$.