Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Math04

Đăng ký: 10-01-2022
Offline Đăng nhập: 25-11-2022 - 21:20
-----

#735850 Tìm lim$(na_{n})$

Gửi bởi Math04 trong 23-11-2022 - 22:30

Cho dãy các số thực dương $(a_{n})$ thỏa hai tính chất: $\left\{\begin{matrix} a_{n+1}\leq a_{n}+a_{n}^2, \forall n \geq1 & & \\ a_{1}+a_{2}+...+a_{n} < M,\forall n \geq1 & & \end{matrix}\right.$ ($M$ là hằng số dương). Tìm lim$(na_{n})$.




#735393 Tìm số các dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa điều kiện đã cho...

Gửi bởi Math04 trong 20-10-2022 - 21:32

Cho dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ sao cho $a_{i} \in \left \{ 0,1,2 \right \}$ và $\left | a_{i}-a_{i+1} \right |\leq 1, \forall i$. Tìm số các dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa điều kiện đã cho.




#735258 Chứng minh góc $QIO$ vuông

Gửi bởi Math04 trong 07-10-2022 - 23:02

Tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp và $BE, CF$ là hai phân giác trong. $BE, CF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K, L$. $AI$ cắt $KL$ ở $P$ và $Q$ trên $EF$ sao cho $QP= QI$ . Chứng minh góc $QIO$ vuông.




#735257 Chứng minh $PM, QN, AX$ đồng quy

Gửi bởi Math04 trong 07-10-2022 - 22:59

Tam giác $ABC$ có $AD, BE, CF$ là các đường cao đồng quy ở $H$ và $X$ là tâm $(DEF)$, gọi $K, L$ là trung điểm $HB, HC$. Giả sử $FK$ cắt $DE$ tại $M, EL$ cắt $DF$ tại $N$ và $DK, DL$ lần lượt cắt $EF$ ở $P, Q$. Chứng minh $PM, QN, AX$ đồng quy.




#735017 Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...

Gửi bởi Math04 trong 19-09-2022 - 23:44

Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:

$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.

Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.




#735016 Chứng minh dãy trên không có số hạng nào là số chính phương

Gửi bởi Math04 trong 19-09-2022 - 23:15

Cho dãy số nguyên dương: $\left\{\begin{matrix}a_{1}=45 & & \\a_{n+1}=a_{n}^2+15a_{n} & &\end{matrix}\right.$
Chứng minh dãy trên không có số hạng nào là số chính phương.


#734994 $\frac{P(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{P(x^2+2...

Gửi bởi Math04 trong 18-09-2022 - 00:51

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa:

$\frac{P(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{P(x^2+2)}{x^2+2}, \forall x \in \mathbb{R}$




#734971 Chứng minh $Q(x)$ có ít nhất 1970 nghiệm phân biệt $r_{1},r_{2...

Gửi bởi Math04 trong 15-09-2022 - 23:29

Cho $n>1$ và đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ có $n$ nghiệm thực (Tính cả nghiệm trùng nhau). Xét đa thức:

$Q(x)=\prod_{j=1}^{2015}P(x+j)$. Biết $P(2015)=2015$. Chứng minh $Q(x)$ có ít nhất 1970 nghiệm phân biệt $r_{1},r_{2},...,r_{1970}$ sao cho $|r_{i}|<2015, \forall i=\overline{1,1970}.$




#734854 Chứng minh các ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$ đều chia $3$...

Gửi bởi Math04 trong 07-09-2022 - 20:33

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh các ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$ đều chia $3$ dư $1$.




#734728 Chứng minh rằng $(GKH)$ tiếp xúc với $(O)$

Gửi bởi Math04 trong 31-08-2022 - 13:45

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$. Gọi $E,F$ tương ứng là giao điểm của đường thẳng $OD$ với các đường thẳng $AB, AC$. Lấy các điểm $K,H$ thuộc $BC$ sao cho $EK//AC,FH// AB$. Gọi $G$ là giao điểm của $EK$ và $FH$. Chứng minh rằng $(GKH)$ tiếp xúc với $(O)$. 



#734614 Chứng minh rằng trong các nghiệm của $P(x)$ có hai nghiệm là nghiệm...

Gửi bởi Math04 trong 24-08-2022 - 23:10

Cho đa thức $P(x)$ bậc $2021$ có hệ số hữu tỉ, hệ số cao nhất bằng $1$ và có đúng $2021$ nghiệm thực phân biệt. Giả sử các nghiệm của đa thức $P(x)$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng trong các nghiệm của $P(x)$ có hai nghiệm là nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.




#734588 Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $2021a_...

Gửi bởi Math04 trong 23-08-2022 - 13:46

Cho dãy $a_{n}$ xác định bởi:
$a_{1}=-1, a_{2}=1, a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\frac{1}{3}(1+\frac{2}{n})a_{n}+1$
Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $2021a_{n}-12n<9$




#734547 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$

Gửi bởi Math04 trong 21-08-2022 - 13:08

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.




#734545 Chứng minh đường tròn Euler của các tam giác $IBC,ICA, IAB$ đồng qu...

Gửi bởi Math04 trong 20-08-2022 - 23:15

Cho tam giác $ABC$ có $l$ là tâm nội tiếp và $Fe$ là điểm Feuerbach của đường tròn nội tiếp và đường tròn Euler tam giác $ABC$. Chứng minh đường tròn Euler của các tam giác $IBC,ICA, IAB$ đồng quy tại điểm $Fe$.



#734539 Tìm số $k$ nguyên dương nhỏ nhất để tạo thành tập hợp đẹp gồm...

Gửi bởi Math04 trong 20-08-2022 - 18:45

Một tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đẹp nếu các đường thẳng trong tập hợp này phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy và mỗi đường thẳng trong chúng đều có số các giao điểm của nó với tất cả các đường thẳng còn lại là một số lẻ. Tìm số $k$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho với $2018$ đường thẳng phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy, bất kỳ, ta có thể bổ sung thêm $k$ đường thẳng để tạo thành tập hợp đẹp gồm $2018+ k$ đường thẳng.