Math04

Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. Phân giác trong $BE, CF$, $E,F$ thuộc $AC, AB$. Với $X$ bất kỳ trong tam giác, chứng minh $X$ thuộc đoạn $EF$ khi và chỉ khi $d(X,AB)+d(X,AC)=d(X,BC)$, với $d(X,AB)$ là khoảng cách từ $X$ đến $AB$. Tương tự cho $BC, AC$.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $N$ là tâm đường tròn Euler. Gọi $X,Y$ lần lượt đối xứng với $N$ qua $AB, AC$. $S$ là tâm $(AXY)$. Chứng minh $SN \perp BC$.

Cho $a,b,c>0$. Dùng phương pháp $p,q,r$ hãy chứng minh: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq2$

Xét hình chữ nhật $1 \times n$ gồm $n$ ô vuông $1 \times 1$. Mỗi ô điền số $0$ hoặc $1$. Một cách điền "đẹp" nếu như ba ô liên tiếp nhau bất kỳ đều không chứa ba số giống nhau. Với mỗi $n \geq 3$, gọi $a_n$ là số cách điền "đẹp". Tính $a_n$.

Có $20$ viên sỏi xếp thành ba đống. Mỗi lần cho phép lấy một nửa số sỏi từ đống có chẵn viên sỏi và chuyển sang đống khác. Chứng minh dù ban đầu các đống sỏi sắp xếp như thế nào, sau hữu hạn bước luôn có thể tạo ra một đống sỏi chứa đúng $10$ viên sỏi.