Đến nội dung

Do Linh An

Do Linh An

Đăng ký: 25-02-2022
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Trong chủ đề: Tìm GTLN của $\frac{1}{a+b+2}+\frac...

23-03-2022 - 20:16

Cho a, b, c, d là 4 số dương có tích bằng 1.
Tìm GTLN của $\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+d+2}+\frac{1}{d+a+2}$

$\dfrac{1}{a+b+2}+\dfrac{1}{c+d+2}\le\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{cd}+1})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+1})=\dfrac{1}{2}$ 

Tương tự ta sẽ có GTLN=1, dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1


Trong chủ đề: Tìm GTLN của $P=3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}...

22-03-2022 - 23:03

Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2$


ờm bạn dùng cách gì để tách như này nhỉ ? 

Trong chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022

22-03-2022 - 22:25

Câu hỏi được đặt ra. Vì sao $\sqrt{\dfrac{a}{c(c+a)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}$ ?

Chính xác thì $\sqrt{\dfrac{ab}{bc^2+1}}=\dfrac{z}{\sqrt{z+x}};\sqrt{\dfrac{bc}{ca^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}};\sqrt{\dfrac{ca}{ab^2+1}}=\dfrac{y}{\sqrt{y+z}} $

Mình viết nhầm, nhưng không ảnh hưởng tới kết quả bài làm lắm


Trong chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022

22-03-2022 - 22:12

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 2:

Bài 41: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$. Chứng minh rằng: $a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)\geqslant \sqrt{\frac{2(a^2bc+1)}{a}}+\sqrt{\frac{2(b^2ca+1)}{b}}+\sqrt{\frac{2(c^2ab+1)}{c}}$

Bài 42: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

Bài 43: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3, a^2+b^2+c^2=5$. Chứng minh rằng: $a^3b+b^3c+c^3a\leqslant 8$

Bài 44: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leqslant 4$. Chứng minh rằng: $\frac{13a^2+2a}{a^2+a+1}+\frac{13b^2+2b}{b^2+b+1}+\frac{13c^2+2c}{c^2+c+1}\leqslant 16$

Bài 45: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=3$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+b+c)\geqslant 9$$

Bài 42: Gặp rồi

Giả sử $a+b\le c+d$

$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{cd}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{ab}-2+ab+\dfrac{1}{cd}-2+cd\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+c^2+2ab+2cd}{2}-4$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{cd}}-\sqrt{cd})^2\ge \dfrac{(a+b)^2+(c+d)^2}{2}-\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})^2 \ge \dfrac{(a+b-c-d)^2}{4}$

Vì $a+b\le c+d \Rightarrow a+b+c+d\le0;2\ge a+b \ge 2\sqrt{ab} \Rightarrow \sqrt{ab}\le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge0 $

Vậy ta cần chứng minh:

$\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge \dfrac{c+d-a-b}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge 2-a-b$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-2+\sqrt{ab} +a-2\sqrt{ab}+b \ge0$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt[4]{ab}}-\sqrt[4]{ab})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$


Trong chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022

22-03-2022 - 22:11

Topic đã tròn 30 bài, từ bây giờ để các bạn có thể tự luyện tập, sáng tạo với bất đẳng thức, mỗi tuần mình sẽ cố gắng đăng 1 SET BẤT ĐẲNG THỨC gồm 5 bài, các bạn nếu muốn có thể trả lời trong topic, bài nào khó có nhiều bạn hỏi qua tin nhắn cá nhân thì mình sẽ đăng đáp án sau 2 tuần

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 1:

Bài 31: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{bc^2+1}}+\sqrt{\frac{bc}{ca^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{ab^2+1}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài 32: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $max\left \{ x,y,z \right \}\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\geqslant 1+3xyz$

Chú ý: $max\left \{ x,y,z \right \}$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geqslant 4$

Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^3+b^2c}+\frac{b^2}{c^3+c^2a}+\frac{c^2}{a^3+a^2b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

                                                                       (96+ ĐỀ ÔN LUYỆN CHUYÊN TOÁN - VÕ QUỐC BÁ CẨN)

Bài 35: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\leqslant abc+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)^2(b^2+ca)^2(c^2+ab)^2}{abc}}$

Bài 31: 

Đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{ab}{bc^2+1}}=\sqrt{\dfrac{ab}{bc(c+a)}}=\sqrt{\dfrac{a}{c(c+a)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}$

Tương tự, có:

$VT=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z+x}}$

$\le \sqrt{(x+y+z)(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x})}$

$=\sqrt{\dfrac{(x+y+z) x}{x+y}+\dfrac{(x+y+z) y}{y+z}+\dfrac{(x+y+z) z}{z+x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z x}{x+y}+y+\dfrac{x y}{y+z}+z+\dfrac{y z}{z+x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z x y}{(x+y) y}+y+\dfrac{x y z}{(y+z) z}+z+\dfrac{y z x}{(z+x) x}}$

$\le \sqrt{x+\dfrac{z  \frac{1}{4}(x+y)^{2}}{(x+y) y}+y+\dfrac{x  \frac{1}{4}(y+z)^{2}}{(y+z) z}+z+\dfrac{y  \frac{1}{4}(z+x)^{2}}{(z+x) x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z(x+y)}{4 y}+y+\dfrac{x(y+z)}{4 z}+z+\dfrac{y(z+x)}{4 x}}$

$=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x y}{z}+\dfrac{y z}{x}+\dfrac{z x}{y}\right)+\frac{5}{4}(x+y+z)}$

$=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z}$

 

Đến đây ta cần chứng minh $VP=\dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}=\dfrac{xy+yz+zx}{\sqrt{2}}\ge\sqrt{\dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z}$

$\Rightarrow \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2} \ge \dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z$

$\Rightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 \ge xy.yz+yz.zx+zx.xy$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$