Do Linh An

Cho $(a^2+2a)^3+b^6+3(a-1)^2+3b^2=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $S=\dfrac{a+2b+1}{a-b+4}$

Tìm $n$ nguyên sao cho $5n-1$ và $55n+11$ là số chính phương, $55n^2-149$ là số nguyên tố. 

Cho a, b, c, d là 4 số dương có tích bằng 1.
Tìm GTLN của $\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+d+2}+\frac{1}{d+a+2}$

$\dfrac{1}{a+b+2}+\dfrac{1}{c+d+2}\le\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{cd}+1})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+1})=\dfrac{1}{2}$ 

Tương tự ta sẽ có GTLN=1, dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

Câu hỏi được đặt ra. Vì sao $\sqrt{\dfrac{a}{c(c+a)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}$ ?

Chính xác thì $\sqrt{\dfrac{ab}{bc^2+1}}=\dfrac{z}{\sqrt{z+x}};\sqrt{\dfrac{bc}{ca^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}};\sqrt{\dfrac{ca}{ab^2+1}}=\dfrac{y}{\sqrt{y+z}} $

Mình viết nhầm, nhưng không ảnh hưởng tới kết quả bài làm lắm

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 2:

Bài 41: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$. Chứng minh rằng: $a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)\geqslant \sqrt{\frac{2(a^2bc+1)}{a}}+\sqrt{\frac{2(b^2ca+1)}{b}}+\sqrt{\frac{2(c^2ab+1)}{c}}$

Bài 42: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

Bài 43: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3, a^2+b^2+c^2=5$. Chứng minh rằng: $a^3b+b^3c+c^3a\leqslant 8$

Bài 44: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leqslant 4$. Chứng minh rằng: $\frac{13a^2+2a}{a^2+a+1}+\frac{13b^2+2b}{b^2+b+1}+\frac{13c^2+2c}{c^2+c+1}\leqslant 16$

Bài 45: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=3$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+b+c)\geqslant 9$$

Bài 42: Gặp rồi

Giả sử $a+b\le c+d$

$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{cd}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{ab}-2+ab+\dfrac{1}{cd}-2+cd\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+c^2+2ab+2cd}{2}-4$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{cd}}-\sqrt{cd})^2\ge \dfrac{(a+b)^2+(c+d)^2}{2}-\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})^2 \ge \dfrac{(a+b-c-d)^2}{4}$

Vì $a+b\le c+d \Rightarrow a+b+c+d\le0;2\ge a+b \ge 2\sqrt{ab} \Rightarrow \sqrt{ab}\le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge0 $

Vậy ta cần chứng minh:

$\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge \dfrac{c+d-a-b}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab} \ge 2-a-b$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{ab}}-2+\sqrt{ab} +a-2\sqrt{ab}+b \ge0$

$\Rightarrow (\dfrac{1}{\sqrt[4]{ab}}-\sqrt[4]{ab})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Topic đã tròn 30 bài, từ bây giờ để các bạn có thể tự luyện tập, sáng tạo với bất đẳng thức, mỗi tuần mình sẽ cố gắng đăng 1 SET BẤT ĐẲNG THỨC gồm 5 bài, các bạn nếu muốn có thể trả lời trong topic, bài nào khó có nhiều bạn hỏi qua tin nhắn cá nhân thì mình sẽ đăng đáp án sau 2 tuần

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 1:

Bài 31: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{bc^2+1}}+\sqrt{\frac{bc}{ca^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{ab^2+1}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài 32: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $max\left \{ x,y,z \right \}\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\geqslant 1+3xyz$

Chú ý: $max\left \{ x,y,z \right \}$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geqslant 4$

Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^3+b^2c}+\frac{b^2}{c^3+c^2a}+\frac{c^2}{a^3+a^2b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

                                                                       (96+ ĐỀ ÔN LUYỆN CHUYÊN TOÁN - VÕ QUỐC BÁ CẨN)

Bài 35: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\leqslant abc+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)^2(b^2+ca)^2(c^2+ab)^2}{abc}}$

Bài 31: 

Đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{ab}{bc^2+1}}=\sqrt{\dfrac{ab}{bc(c+a)}}=\sqrt{\dfrac{a}{c(c+a)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}$

Tương tự, có:

$VT=\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z+x}}$

$\le \sqrt{(x+y+z)(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x})}$

$=\sqrt{\dfrac{(x+y+z) x}{x+y}+\dfrac{(x+y+z) y}{y+z}+\dfrac{(x+y+z) z}{z+x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z x}{x+y}+y+\dfrac{x y}{y+z}+z+\dfrac{y z}{z+x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z x y}{(x+y) y}+y+\dfrac{x y z}{(y+z) z}+z+\dfrac{y z x}{(z+x) x}}$

$\le \sqrt{x+\dfrac{z  \frac{1}{4}(x+y)^{2}}{(x+y) y}+y+\dfrac{x  \frac{1}{4}(y+z)^{2}}{(y+z) z}+z+\dfrac{y  \frac{1}{4}(z+x)^{2}}{(z+x) x}}$

$=\sqrt{x+\dfrac{z(x+y)}{4 y}+y+\dfrac{x(y+z)}{4 z}+z+\dfrac{y(z+x)}{4 x}}$

$=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x y}{z}+\dfrac{y z}{x}+\dfrac{z x}{y}\right)+\frac{5}{4}(x+y+z)}$

$=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z}$

Đến đây ta cần chứng minh $VP=\dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}=\dfrac{xy+yz+zx}{\sqrt{2}}\ge\sqrt{\dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z}$

$\Rightarrow \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2} \ge \dfrac{1}{4}\left[(x y)^{2}+(y z)^{2}+(z x)^{2}\right]+\dfrac{5}{4}(x+y+z) x y z$

$\Rightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 \ge xy.yz+yz.zx+zx.xy$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Topic đã tròn 30 bài, từ bây giờ để các bạn có thể tự luyện tập, sáng tạo với bất đẳng thức, mỗi tuần mình sẽ cố gắng đăng 1 SET BẤT ĐẲNG THỨC gồm 5 bài, các bạn nếu muốn có thể trả lời trong topic, bài nào khó có nhiều bạn hỏi qua tin nhắn cá nhân thì mình sẽ đăng đáp án sau 2 tuần

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 1:

Bài 31: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{bc^2+1}}+\sqrt{\frac{bc}{ca^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{ab^2+1}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài 32: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $max\left \{ x,y,z \right \}\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\geqslant 1+3xyz$

Chú ý: $max\left \{ x,y,z \right \}$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geqslant 4$

Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^3+b^2c}+\frac{b^2}{c^3+c^2a}+\frac{c^2}{a^3+a^2b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

                                                                       (96+ ĐỀ ÔN LUYỆN CHUYÊN TOÁN - VÕ QUỐC BÁ CẨN)

Bài 35: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\leqslant abc+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)^2(b^2+ca)^2(c^2+ab)^2}{abc}}$

Bài 32:

Giả sử $x$ là số lớn nhất tức $x\ge1$

$x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2-1-3xyz\\=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z+x)+(x+y+z)^2-2(x+y+z)\\=(x+y+z)[x^2-x(y+z)+(y+z)^2-2+x+y+z]-3yz(x+y+z)\\\ge (x+y+z)[x^2-x(y+z)+(y+z)^2-2+x+y+z]-\dfrac{3}{4}(y+z)^2(x+y+z)\\=(x+y+z)[x^2-x(y+z)-2+x+y+z+(y+z)^2-\dfrac{3}{4}(y+z)^2]\\=\dfrac{1}{4}(x+y+z)(4x^2-4x(y+z)-8+4x+4y+4z+(y+z)^2]\\=\dfrac{1}{4}(x+y+z)[(2x-y-z)^2 +4x+4y+4z-8]\\=\dfrac{1}{4}(x+y+z)[(y+z-2x)^2+4(y+z-2x)+4+12x-12]\\=\dfrac{1}{4}(x+y+z)[(y+z-2x+2)^2+12(x-1)]\ge0\\\Rightarrow x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\ge1+3xyz$

Dấu bằng xảy ra khi $(x;y;z)=(1;0;0)$ và các hoán vị

Topic đã tròn 30 bài, từ bây giờ để các bạn có thể tự luyện tập, sáng tạo với bất đẳng thức, mỗi tuần mình sẽ cố gắng đăng 1 SET BẤT ĐẲNG THỨC gồm 5 bài, các bạn nếu muốn có thể trả lời trong topic, bài nào khó có nhiều bạn hỏi qua tin nhắn cá nhân thì mình sẽ đăng đáp án sau 2 tuần

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 1:

Bài 31: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{bc^2+1}}+\sqrt{\frac{bc}{ca^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{ab^2+1}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài 32: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $max\left \{ x,y,z \right \}\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\geqslant 1+3xyz$

Chú ý: $max\left \{ x,y,z \right \}$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geqslant 4$

Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^3+b^2c}+\frac{b^2}{c^3+c^2a}+\frac{c^2}{a^3+a^2b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

                                                                       (96+ ĐỀ ÔN LUYỆN CHUYÊN TOÁN - VÕ QUỐC BÁ CẨN)

Bài 35: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\leqslant abc+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)^2(b^2+ca)^2(c^2+ab)^2}{abc}}$

Bài 34:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$[\dfrac{a^2}{b^2(b+c)}+\dfrac{b^2}{c^2(c+a)}+\dfrac{c^2}{a^2(a+b)}][(b+c)+(c+a)+(a+b)]\ge (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2 \ge (\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c})^2=(a+b+c)^2$

$\Rightarrow VT\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{a+b+c}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Topic đã tròn 30 bài, từ bây giờ để các bạn có thể tự luyện tập, sáng tạo với bất đẳng thức, mỗi tuần mình sẽ cố gắng đăng 1 SET BẤT ĐẲNG THỨC gồm 5 bài, các bạn nếu muốn có thể trả lời trong topic, bài nào khó có nhiều bạn hỏi qua tin nhắn cá nhân thì mình sẽ đăng đáp án sau 2 tuần

SET BẤT ĐẲNG THỨC TUẦN 1:

Bài 31: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{bc^2+1}}+\sqrt{\frac{bc}{ca^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{ab^2+1}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài 32: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $max\left \{ x,y,z \right \}\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\geqslant 1+3xyz$

Chú ý: $max\left \{ x,y,z \right \}$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geqslant 4$

Bài 34: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^3+b^2c}+\frac{b^2}{c^3+c^2a}+\frac{c^2}{a^3+a^2b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

                                                                       (96+ ĐỀ ÔN LUYỆN CHUYÊN TOÁN - VÕ QUỐC BÁ CẨN)

Bài 35: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\leqslant abc+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)^2(b^2+ca)^2(c^2+ab)^2}{abc}}$

Bài 33:

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$, ta chứng minh được $\sqrt{\dfrac{ab}{a+c}}\ge\sqrt{\dfrac{b^2}{b+c}};\sqrt{\dfrac{ac}{a+b}}\ge\sqrt{\dfrac{c^2}{b+c}}$

$\Rightarrow  \sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

$\Rightarrow VT\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{4\sqrt{a(b+c)+bc}}{a+b+c}\ge4(AM-GM,bc\ge0)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị

Có tài liệu của một xí nghiệp về tình hình chi phí sản xuất 2 loại sản phẩm A và B năm 2017 như sau:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Sản phẩm} & \text{Chi phí sản xuất (triệu đồng)} & & \text{Tỉ lệ } \% \text{ tăng (giảm) giá thành đơn vị sản phẩm tháng 2 so với tháng 1} \\
\hline
& \text{Tháng 1/2017} & \text{Tháng 2/2017} & \\
\hline
A & 100 & 104,5 & +10 \\
\hline
B & 200 & 210 & -5 \\
\hline
\end{array}$$
Yêu cầu:
1. Tính chỉ số tổng hợp số lượng các loại sản phẩm.
2. Tính chỉ số tổng hợp giá thành các loại sản phẩm.
 
Bài tập về nguyên lí thống kê phần chỉ số, em năm nhất ak