Đến nội dung

nmd27082001

nmd27082001

Đăng ký: 04-03-2022
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:25
***--

Về định nghĩa của điểm hữu tỷ

18-03-2024 - 14:41

Hiện tại em đang đọc về định nghĩa của điểm hữu tỷ trên đa tạp đại số theo ngôn ngữ cổ điển trong cuốn [1] T.A. Springer, Linear Algebraic Groups và [2] J.E. Humphreys, Linear Algebraic Groups. Ở đây em thấy có hai cách định nghĩa về $F$-điểm và $F$-cấu trúc. Theo đó, cho $k$ là một trường đóng đại số và $F$ là một trường con của $k$.

 

I. Định nghĩa theo [2]

Trong Chương 12 của [2], tác giả định nghĩa một tập đóng $X\subset \mathbb{A}^n$ là xác định trên $F$ nếu $\mathcal{I}(X)$ sinh bởi các đa thức có hệ số trên $F$. Khi đó [2] định nghĩa các $F$-điểm của $X$ bởi

\[X(F)=X\cap F^n.\]

Hơn nữa, theo phần đầu của mục 1.3.7 trong [1] thì ta định nghĩa

\[F[X]=F[T_1,\ldots,T_n]/\mathcal{I}(X)\cap F[T_1,\ldots,T_n].\]

Theo em, flow này tự nhiên vì nó phù hợp với mong muốn khảo sát các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$.

 

II. Định nghĩa theo [1]

Tuy nhiên, phần sau của mục 1.3.7 lại nói: "But this notion of field of definition is not intrinsic, as it depends on a particular choice of generators of $k[X]$".

 

Dựa trên phần I, ta có đẳng cấu tự nhiên $k\otimes_F F[X]\to k[X]$, do đó [1] định nghĩa một $F$-cấu trúc của $k[X]$ bởi một $F$-đại số con hữu hạn sinh của $k[X]$ sao cho đồng cấu 

\[k\otimes_F F[X]\to k[X],\lambda\otimes f\mapsto \lambda f\]

là đẳng cấu. Từ đây [1] định nghĩa

\[X(F):=\{\text{F-đồng cấu } F[X]\to F\}.\]

 

Dẫu biết rằng đây là cách định nghĩa theo ngôn ngữ hiện đại, em có một số băn khoăn như sau:

1, $F$-cấu trúc của $k[X]$ nếu tồn tại thì chưa chắc duy nhất. Ví dụ như Bài tập 1.3.9 trong [1] với $k=\mathbb{C}, F=\mathbb{R}$ và $k[X]=\mathbb{C}[T_1,T_2]/\left<T_1^2+T_2^2-1\right>$, khi đó gọi $a,b$ là ảnh của $T_1, T_2$ trong $\mathbb{C}[X]$ thì $\mathbb{C}[X]$ có hai $\mathbb{R}$-cấu trúc khác nhau là $\mathbb{R}[a,b]$ và $\mathbb{R}[ia,ib]$. Điều này mâu thuẫn với trực giác của em vì theo em các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$ thì duy nhất nên em nghĩ $F$-cấu trúc này cũng nên duy nhất.

 

2, Chính từ điều 1, nên em thấy định nghĩa $X(F)$ cũng không duy nhất và phụ thuộc vào $F$-cấu trúc mà ta chọn (Ví dụ em lấy ở trên là một trường hợp khi $\{\mathbb{R}[a,b]\to \mathbb{R}\}$ là đường tròn trong khi $\{\mathbb{R}[ia,ib]\to \mathbb{R}\}=\varnothing$.

 

3, Tuy nhiên nếu ta định nghĩa theo mục I thì ta sẽ có một tương ứng 1-1 giữa các tập

\[\{ F-\text{đồng cấu } F[X]\to F\}\leftrightarrow X(F)=X\cap F^n.\]

 

Do đó em muốn nhờ các cao nhân chỉ giáo tại sao người ta lại muốn định nghĩa như mục II ạ. Tính không duy nhất mà em nêu ra có thực sự là vấn đề không ạ.


Về việc viết bài tổng hợp kiến thức

08-04-2022 - 23:21

Em chào các anh chị và các bạn trên diễn đàn VMF. 

Ở trường em từ khóa K64 không còn dạy môn đại số giao hoán, mà đây là một môn nền tảng cho những kiến thức sau này nên em muốn viết một series tổng hợp các kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán dựa trên cuốn Introduction to Commutative Algebra của Atiyah. Em có một số thắc mắc mong được các anh chị giải đáp:

  • Hiện tại có ai trên diễn đàn từng viết một nội dung tổng hợp như vậy chưa ạ?
  • Các chứng minh cho các định lí và mệnh đề có cần chứng minh chi tiết không ạ?
  • Có thể đưa các bài tập trong sách vào được không ạ? Vì có rất nhiều bài tập hay có thể thảo luận ạ.

Ngoài ra em rất mong nhận được thêm các góp ý ngoài các câu hỏi trên vì em là lính mới trên diễn đàn VMF ạ :3
Em xin cảm ơn trước ạ.


Mở rộng và hạn chế ideal

08-04-2022 - 22:14

Bài viết này trình bày một số kết quả về mở rộng và hạn chế ideal trong trường hợp trên vành thương, trên vành các thương và trên mở rộng nguyên. Tùy vào đối tượng cụ thể mà mở rộng và hạn chế còn có nhiều tính chất thú vị khác, tuy nhưng bài viết sẽ tập trung vào các ideal tổng quát là chính. Các kết quả trong bài viết tổng hợp từ [1], [2].

Cho $A$ là một vành. Nếu $\mathfrak{a}$ là ideal của $A$ thì kí hiệu $\mathfrak{a}\lhd A$. Ngoài ra ta gọi $I(A)$ là họ các ideal trong $A$, $Spec(A)$ là họ các ideal nguyên tố trong $A$.

Với miền nguyên $A$ và tập con nhân tính $S$ của $A$ ($0\notin S$), kí hiệu $S^{-1}A=\{a/s|a\in A,s\in S\}$ là vành các thương trên $A$ đối với $S$. Đặc biệt trong trường hợp $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ với $\mathfrak{p}$ là một ideal nguyên tố trong $A$ thì ta kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$.
Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal, bạn đọc có thể xem trong chương I của [1].

 

1. Lý thuyết cơ bản về mở rộng và hạn chế ideal

 

Ở mục này ta sẽ xét $A,B$ là các vành và $f:A\rightarrow B$ là một đồng cấu vành. Khi đó ta có thể coi $B$ là một "mở rộng" của $A$.
Xét $\mathfrak{a}$ là một ideal của $A$, ta gọi mở rộng của $\mathfrak{a}$ trên $B$ là ideal $Bf(\mathfrak{a})$, kí hiệu bởi $\mathfrak{a}^e$ (ở đây cần nhấn mạnh $f(\mathfrak{a})$ chưa chắc là ideal trong $B$ nên ta cần lấy ideal sinh bởi nó).
Xét $\mathfrak{b}$ là một ideal của $B$, khi đó ta chỉ ra được $f^{-1}(\mathfrak{b})$ là một ideal trên $A$, gọi là hạn chế của $\mathfrak{b}$ trên $A$, kí hiệu bởi $\mathfrak{b}^c$.

 

Tính chất 1: Cho $\mathfrak{a}\lhd A$ và $\mathfrak{b}\lhd B$. Khi đó:
• $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a}^{ec}, \mathfrak{b} \supset \mathfrak{b}^{ce}$,
• $\mathfrak{a}^{ece}=\mathfrak{a}^{e}$ và $\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{b}^{cec}$.

 

Tính chất trên có thể chứng minh dễ dàng nên tác giả nhường lại bạn đọc. Đặc biệt ở mệnh đề sau của tính chất 1 cho thấy rằng trên tập $\{\mathfrak{a}^{e}|\mathfrak{a}\lhd A\}$ thì phép lấy $^{ce}$ (tức là hạn chế rồi mở rộng) là một ánh xạ bất biến, tương tự với phép lấy $^{ec}$ trên tập $\{\mathfrak{b}^{c}|\mathfrak{b}\lhd B\}$. Đó là cơ sở để ta quan tâm đến hai tập hợp sau.

 

Mệnh đề 2: $C=\{\mathfrak{a}\lhd A| \exists \mathfrak{b}\lhd B: \mathfrak{b}^c= \mathfrak{a}\}$ được gọi là họ các ideal hạn chế trên $A$, $E=\{\mathfrak{b}\lhd B| \exists \mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^e= \mathfrak{b}\}$ được gọi là họ các ideal mở rộng trên $B$. Khi đó $C=\{\mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\}$ và $E=\{\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\}$.
Hơn nữa ta có song ánh \[(\_)^e:C\rightarrow E, \mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}^e\] với ánh xạ ngược $(\_)^c:E\rightarrow C$, $\mathfrak{b}\mapsto \mathfrak{b}^c$.

Chứng minh. Ý thứ nhất nếu $\mathfrak{a}$ nằm trong $C$ thì tồn tại $\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{a}=\mathfrak{b}^c$. Do đó $\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{b}^{cec}=\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{a}$, ngược lại nếu $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{ec}=(\mathfrak{a}^e)^c$ dẫn tới $\mathfrak{a}\in C$.
Ý thứ hai, theo nhận xét trước đó của ta thì $(\_)^e \circ (\_)^c = Id_E$ và $(\_)^c \circ (\_)^e = Id_C$ nên ta có $(\_)^e$ và $(\_)^c$ là song ánh.

 

Mệnh đề trên rất quan trọng, nó cho phép liên hệ các ideal trên $A$ với ideal trên $B$ một cách tương ứng. Trong từng trường hợp cụ thể, tương ứng trên sẽ cho ta các tính chất khác nhau. Tiếp theo là một loạt tính chất của mở rộng và hạn chế, xem như bài tập cho bạn đọc.

 

Mệnh đề 3: Cho $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2 \lhd A$, $\mathfrak{b}_1,\mathfrak{b}_2 \lhd B$ . Khi đó:

• $(\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e+\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1+\mathfrak{b}_2)^c\supset \mathfrak{b}_1^c+\mathfrak{b}_2 ^c $;
• $ (\mathfrak{a}_1\cap \mathfrak{a}_2)^e\subset \mathfrak{a}_1^e\cap\mathfrak{a}_2 ^e$; $ (\mathfrak{b}_1\cap \mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\cap\mathfrak{b}_2 ^c$;
• $(\mathfrak{a}_1\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1\mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c $;
• $(\mathfrak{a}_1:\mathfrak{a}_2)^e=(\mathfrak{a}_1^e:\mathfrak{a}_2^e)$, $(\mathfrak{b}_1:\mathfrak{b}_2)^c=(\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c)$ trong đó $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{x\in A:x\mathfrak{b}\subset \mathfrak{a}\}$.

 

Kết thúc mục này là tính chất bảo toàn tính nguyên tố của phép lấy hạn chế:

 

Mệnh đề 4: Cho $\mathfrak{P}$ là ideal nguyên tố trong $B$, khi đó $\mathfrak{P}^c$ là ideal nguyên tố trong $A$
Chứng minh. Xét $ab\in \mathfrak{P}^c=f^{-1}(\mathfrak{P})$, khi đó $f(a)f(b)\in \mathfrak{P}$ nên $f(a)\in \mathfrak{P}$ hoặc $f(b)\in \mathfrak{P}$, dẫn tới $a\in\mathfrak{P}^c$ hoặc $b\in\mathfrak{P}^c$.

 

Cần lưu ý rằng mở rộng của một ideal nguyên tố chưa chắc đã là ideal nguyên tố.
Nói chung mỗi mục II,III,IV của ta sẽ đi theo hướng: xác định tập C và E tương ứng với mở rộng ta đang xét, khảo sát tính cực đại, tính nguyên tố của các ideal khi mở rộng và một số tính chất liên quan khác.

 

Tài liệu tham khảo.

[1] M. F. Atiyah - I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra.

[2] Serge Lang, Algebraic Number Theory.