Hiện tại em đang đọc về định nghĩa của điểm hữu tỷ trên đa tạp đại số theo ngôn ngữ cổ điển trong cuốn [1] T.A. Springer, Linear Algebraic Groups và [2] J.E. Humphreys, Linear Algebraic Groups. Ở đây em thấy có hai cách định nghĩa về $F$-điểm và $F$-cấu trúc. Theo đó, cho $k$ là một trường đóng đại số và $F$ là một trường con của $k$.
I. Định nghĩa theo [2]
Trong Chương 12 của [2], tác giả định nghĩa một tập đóng $X\subset \mathbb{A}^n$ là xác định trên $F$ nếu $\mathcal{I}(X)$ sinh bởi các đa thức có hệ số trên $F$. Khi đó [2] định nghĩa các $F$-điểm của $X$ bởi
\[X(F)=X\cap F^n.\]
Hơn nữa, theo phần đầu của mục 1.3.7 trong [1] thì ta định nghĩa
\[F[X]=F[T_1,\ldots,T_n]/\mathcal{I}(X)\cap F[T_1,\ldots,T_n].\]
Theo em, flow này tự nhiên vì nó phù hợp với mong muốn khảo sát các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$.
II. Định nghĩa theo [1]
Tuy nhiên, phần sau của mục 1.3.7 lại nói: "But this notion of field of definition is not intrinsic, as it depends on a particular choice of generators of $k[X]$".
Dựa trên phần I, ta có đẳng cấu tự nhiên $k\otimes_F F[X]\to k[X]$, do đó [1] định nghĩa một $F$-cấu trúc của $k[X]$ bởi một $F$-đại số con hữu hạn sinh của $k[X]$ sao cho đồng cấu
\[k\otimes_F F[X]\to k[X],\lambda\otimes f\mapsto \lambda f\]
là đẳng cấu. Từ đây [1] định nghĩa
\[X(F):=\{\text{F-đồng cấu } F[X]\to F\}.\]
Dẫu biết rằng đây là cách định nghĩa theo ngôn ngữ hiện đại, em có một số băn khoăn như sau:
1, $F$-cấu trúc của $k[X]$ nếu tồn tại thì chưa chắc duy nhất. Ví dụ như Bài tập 1.3.9 trong [1] với $k=\mathbb{C}, F=\mathbb{R}$ và $k[X]=\mathbb{C}[T_1,T_2]/\left<T_1^2+T_2^2-1\right>$, khi đó gọi $a,b$ là ảnh của $T_1, T_2$ trong $\mathbb{C}[X]$ thì $\mathbb{C}[X]$ có hai $\mathbb{R}$-cấu trúc khác nhau là $\mathbb{R}[a,b]$ và $\mathbb{R}[ia,ib]$. Điều này mâu thuẫn với trực giác của em vì theo em các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$ thì duy nhất nên em nghĩ $F$-cấu trúc này cũng nên duy nhất.
2, Chính từ điều 1, nên em thấy định nghĩa $X(F)$ cũng không duy nhất và phụ thuộc vào $F$-cấu trúc mà ta chọn (Ví dụ em lấy ở trên là một trường hợp khi $\{\mathbb{R}[a,b]\to \mathbb{R}\}$ là đường tròn trong khi $\{\mathbb{R}[ia,ib]\to \mathbb{R}\}=\varnothing$.
3, Tuy nhiên nếu ta định nghĩa theo mục I thì ta sẽ có một tương ứng 1-1 giữa các tập
\[\{ F-\text{đồng cấu } F[X]\to F\}\leftrightarrow X(F)=X\cap F^n.\]
Do đó em muốn nhờ các cao nhân chỉ giáo tại sao người ta lại muốn định nghĩa như mục II ạ. Tính không duy nhất mà em nêu ra có thực sự là vấn đề không ạ.