Đến nội dung


Sangnguyen3

Đăng ký: 06-04-2022
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 11:34
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge...

Hôm nay, 10:08

$\sum \frac{a}{b+2c}-1 \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}-1=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{3\sum ab}=\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}$

Can chung minh :$\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

WLOG, gia su $a=min\left \{ a;b;c \right \} \Rightarrow (a-c)(a-b)\geq 0$

Quy ve chung minh $\frac{(b-c)^{2}}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}} \Leftrightarrow (b-c)^{2}\left ( b^{2}+2bc+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geq 0$ 
 


Trong chủ đề: Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{...

29-08-2022 - 22:37

Câu này thầy cho em thêm để em làm bổ sung trong 1 cái list bài mà bài này khó nhất em chưa làm ra :(( em ko bt nó có trong sách thầy cẩn ko


Trong chủ đề: $\left\{\begin{matrix} x^{3}...

19-08-2022 - 22:56

Ta có $7xy+y-x=7 \Rightarrow xy+y-x+1=8-6xy$

Thay vào $(1)$, ta có $x^{3}+y^{3}=8-6xy \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-8+6xy=0 \Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4)=0$

TH1 : $x+y=2$ thay vào $(2)$ tìm đc x,y 
TH2 : $x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=-2$ thử lại thấy ko thỏa mãn 


Trong chủ đề: Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 1 năm học 2022-2023

19-08-2022 - 12:04

Em xin góp lời giải câu 1b 
Công 2 phương trình ta có $x^{2}+y^{2}=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )$

Nếu $xy=0 \Rightarrow x=y=0$ ( thỏa mãn) 
Nếu $xy\neq 0$

Ta có $x^{2}+y^{2}>0;2\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) > 0 \Rightarrow xy> 0$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy \Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) \geq 1$

Mặt khác $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}} + \frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}+8}} \right )\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ ( thỏa mãn)  
Vậy cặp (x;y) thỏa mãn là $\left \{ (0;0),(1;1) \right \}$


Trong chủ đề: $2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1)\geq (1+abcd)(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1...

08-08-2022 - 22:11

Theo $Holder$, ta có $\prod (a^{4}+1)\geq \left ( abcd+1 \right )^{4}$

Ta quy về chứng minh $2^{4}.\left [ \prod \left ( a^{3}+1 \right ) \right ]^{4} \geq \prod \left ( a^{4}+1 \right ).\left [ \prod \left ( a^{2}+1 \right ) \right ]^{4}$

Ta sẽ chứng minh $2(a^{3}+1)^{4}\geq \left ( a^{4}+1 \right ).\left (a^{2}+1 \right )^{4}$

Thật vậy $\left ( a^{2}+1 \right )^{4} \leq (a+1)^{2}.\left ( a^{3} +1\right )^{2}$

Thế thì cần chứng minh $2\left ( a^{3}+1 \right )^{2}\geq \left ( a^{4}+1 \right )\left ( a+1 \right )^{2} \Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$ ( luôn đúng) 
Phép chứng minh được hoàn tất