Đến nội dung

Sangnguyen3

Sangnguyen3

Đăng ký: 06-04-2022
Offline Đăng nhập: 21-02-2024 - 12:15
-----

Trong chủ đề: Hỏi có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $n,n+...

09-01-2024 - 23:08

Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương $\geq 2$, đôi một nguyên tố cùng nhau 

Khi đó : $\left ( 2^{a}-1;2^{b}-1 \right )=\left ( 2^{b}-1;2^{c}-1 \right )=\left ( 2^{c}-1;2^{a}-1 \right )=1$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho : $\begin{cases} n \equiv 0(\mod 2^{a}-1)\\ n \equiv -1(\mod 2^{b}-1)\\ n \equiv -2 (\mod 2^{c}-1) \end{cases}$

Vậy tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán


Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mi...

27-11-2023 - 22:28

3/Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ sao cho : $n! \mid a^{n}-1$

4/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương m sao cho : $n \mid 2^{m}+m$

5/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn : $\varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2)$

6/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a;n;p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa mãn : 

$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$


Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mi...

27-11-2023 - 22:22

Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $b>a$ sao cho : 

$1+2^{a}+3^{a}\mid 1+2^{b}+3^{b}$


Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mi...

22-11-2023 - 18:41

Dễ thấy $m,n$ lẻ

Với $m=1 \Rightarrow n\in \left \{ 1;3 \right \}$. Ta có $3$ cặp $(1;1),(1;3),(3;1)$ thỏa mãn 
Xét $m,n\geq 3$, ta đặt: 

$m=\prod_{k=1}^{N}p_k^{a_k},n=\prod_{k=1}^{M}q_k^{b_k}$

Với $1\leq i\leq N,1\leq j\leq M$, ta có : 

$v_2(p_i-1)=\underset{1\leq k\leq N}{min} v_2(p_k-1)$

$v_2(q_j-1)=\underset{1\leq k\leq M}{min} v_2(q_k-1)$

Ta có : $m|2^{\varphi(n)}+1 \Rightarrow 2^{\varphi(n)}\equiv -1(\mod p_i^{a_i}) \Rightarrow 2^{2\varphi(n)}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

Đặt: $d_i=ord_{p_i^{a_i}}(2)$ thì ta được $d_i \nmid \varphi(n)$ và $d_i \mid 2\varphi(n)$

$\Rightarrow v_2(d_i)=v_2\left ( \varphi(n) \right )+1$

Lại có theo định lí Euler, ta thu được : $2^{\varphi(p_i^{a_i})}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

$\Rightarrow d_i \mid \varphi(p_i^{a_i})\Rightarrow d_i \mid p_i^{a_i -1}(p_i-1)$

$\Rightarrow v_2(d_i)\leq v_2(p_i -1)$

$\Rightarrow v_2(p_i -1)\geq 1+ v_2(\varphi(n))\geq 1+ v_2(q_j -1)$
Tương tự đối với $q_j^{b_j}$ ta có được $v_2(q_j -1)\geq 1+ v_2(p_i -1)$

Từ hai điều trên, ta suy ra điều mâu thuẫn. Như vậy, không tồn tại các giá trị $m,n\geq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $\frac{\left ( 2k \right )!...

15-11-2023 - 19:48

a) Giả sử $\exists$ $\varphi (x)=2p$

Ta cần đi chứng minh $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

Ta có : $a+b> 2$ và $a+b\mid a^{2n-1}+b^{2n-1}$
Xét $x=2^{k}.q \ [k\geq 2; (2;q)=1]$

$\varphi (x)=\varphi (2^{k}).\varphi \left ( q \right )=2^{k-1}.\varphi \left ( q \right )\vdots 4$ ( vô lí vì $2p\equiv 2 (\mod4)$

$\Rightarrow k\in \left \{ 0;1 \right \}$

Vì $\varphi (2q)=\varphi (q)$ nên ta chỉ cần xét $x=u$ (với $u$ lẻ ) 

Trường hợp 1 : $u=p_1.p_2...p_k$ với $p_1,p_2,..,p_k$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt 
$\varphi (u)=\varphi (p_1).\varphi (p_2)...\varphi (p_k) \vdots 4$ ( vô lí )

Trường hợp 2 : $u=r^{t}$ với $t\geq 2$ và $r$ là số nguyên tố lẻ 

$\varphi (u)=r^{t-1}(r-1)=2p$ $\Rightarrow r=3,p=3$ (vô lí vì $p> 3$)

$\Rightarrow u=q$ với $q$ là 1 số nguyên tố lẻ 
Vậy $x=q$ hoặc $x=2q$ với $q$ là số nguyên tố lẻ.

$\Rightarrow \varphi (x)=\varphi (q)=\varphi (2q)=q-1=2p$ 

$\Rightarrow x=2p+1$ hoặc $x=2(2p+1)$

$(a+b)\mid (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ $\Rightarrow (a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$ hoặc $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$, kết hợp $a+b> 2$ $\Rightarrow a+b=q=2p+1$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$, kết hợp $a+b> 2 \Rightarrow a+b=q=2p+1$ hoặc $a+b=2q=2(2p+1)$

Ta có điều phải chứng minh 

b) Với một số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}\mid a^{k}-b^{k}$ thì $k$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2n$ và nếu $a^{n}+b^{n}\mid a^{l}-b^{l}$ thì $2n\mid l$

Vì $(a;a^{n}+b^{n})=(b;a^{n}+b^{n})=1$ nên theo định lí $Euler$, ta có : 
$a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$ và $b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$

$a^{n}+b^{n}\mid a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}-b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )} \Rightarrow 2n\mid \varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )$

$2(2n-1)\mid \varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$

$2^{k}.1.3.5...(2k-1)\mid \Rightarrow \prod_{i=1}^{k}u_i$

$\Rightarrow \frac{(2k)!}{(k)!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$