Sangnguyen3

Tìm tất cả đa thức $P(x)$ hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $x,y$ thì 

$x+y \mid P^{(x)}(y)-P^{(y)}(x)$, trong đó dãy $(P^{(k)}(x))_{k\geq 1}$ xác định như sau : $P^{(1)}(x)=P(x),P^{(k)}(x)=P\left ( P^{(k-1)}(x) \right ), k> 1$

Có tồn tại hay không các số nguyên dương phân biệt $k_1,k_2,..k_{2023}$ thỏa mãn với mọi $n> 2022$, thì tồn tại một số trong các số $k_1.2^{n}+1, k_2.2^{n}+1,...k_{2023}.2^{n}+1$ là số nguyên tố.

Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương $\geq 2$, đôi một nguyên tố cùng nhau 

Khi đó : $\left ( 2^{a}-1;2^{b}-1 \right )=\left ( 2^{b}-1;2^{c}-1 \right )=\left ( 2^{c}-1;2^{a}-1 \right )=1$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho : $\begin{cases} n \equiv 0(\mod 2^{a}-1)\\ n \equiv -1(\mod 2^{b}-1)\\ n \equiv -2 (\mod 2^{c}-1) \end{cases}$

Vậy tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Một số tự nhiên được gọi là số “đẹp” nếu nó có thể phân tích được thành tích của một số các số nguyên dương mà tổng của chúng bằng 2020. Hãy tìm số “đẹp” lớn nhất.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và D là một điểm di động trên cung nhỏ BC (D khác B và C). Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A của các tam giác ABD và ACD.

a) Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DIJ . Chứng minh rằng OT có độ dài không đổi khi D thay đổi trên cung nhỏ BC.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DIJ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ BC.

3/Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ sao cho : $n! \mid a^{n}-1$

4/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương m sao cho : $n \mid 2^{m}+m$

5/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn : $\varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2)$

6/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a;n;p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa mãn : 

$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$

Bài toán 45 : 
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, đường tròn tâm $I$ qua $B,C$ và cắt $HB,HC$ lần lượt tại $E,F$. Các đường tròn $(HBF),(HCE)$ cắt nhau tại $D$ . $(J)$ là đường tròn qua $E,F$ và trung điểm $BC$ cắt $HB,HC,FB,EC$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Gọi $U,V$ là tâm các đường tròn $(DMP),(DNQ)$.

CMR $ID//UV$

Cho tập $X=\{1;2;3;\ldots ;3000\}$. Có tồn tại hay không 1 tập $A$ có 2000 phần tử và với mỗi $x\in A \Rightarrow 2x\notin A$ ?

Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3(ab+bc+ca)}$ là số nguyên

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó

$x=1 \Rightarrow y^{3}-1=p \Rightarrow y=2,p=7$

$x\geq 2$

Phương trinh được viết lại thành : $\frac{x^{p}-1}{x-1}=(y-1)(y^{2}+y+1)$

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m (x> 1)$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^{p}-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1 ( \mod p)$

Chứng minh : https://julielltv.wo...013/12/28/1436/

Quay lại bài toán : 

Từ đó ta có được : $\begin{cases} y-1\equiv 0,1 (\mod p) \\ y^{2}+y+1\equiv 0,1 (\ mod p) \end{cases}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}p\mid 7 \\ p\mid 2,p\mid 3 \end{array}\right.$

Với $p=7$ thì tìm được ở lúc đầu

Với $p=2 \Rightarrow x+1=y^{3}-1$ , lúc này sẽ tồn tại các số nguyên dương $x,y$ để thỏa mãn điều kiện này 
Tương tự với $p=3$

Các số nguyên tố $p$ thỏa mãn : $\left \{ 2,3,7 \right \}$

Tìm tất cả các sô nguyên tố $p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm (K) đi qua B,C cắt AC, AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE,CF. Gọi S là giao điểm của EF và BC. G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 
$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y\in N^{*}$