Đến nội dung


Sangnguyen3

Đăng ký: 06-04-2022
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 11:34
-----

#735049 Cho a,b,c ko âm thỏa $a^2+b^2+c^2=2$, tìm min và max của $A=a^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 21-09-2022 - 23:37

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$




#734692 Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 29-08-2022 - 22:37

Câu này thầy cho em thêm để em làm bổ sung trong 1 cái list bài mà bài này khó nhất em chưa làm ra :(( em ko bt nó có trong sách thầy cẩn ko




#734691 Cho $ a,b,c >0 $ thỏa $ abc=1$. CMR $\prod...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 29-08-2022 - 22:35

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$




#734689 Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 29-08-2022 - 22:29

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm gtnn của $ P=\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}-2abc$




#734551 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), đường cao AD,BE cắt nhau tại...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 21-08-2022 - 18:13

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. (AEH) cắt DE tại K khác E. Gọi L là giao AK với BC. CK cắt AB tại T. Trên tia đối HC lấy P sao cho HP/HK=BL/BC.Đường thẳng AD cắt BP tại Q. CMR QT vuông góc với AB


#734521 $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 19-08-2022 - 22:56

Ta có $7xy+y-x=7 \Rightarrow xy+y-x+1=8-6xy$

Thay vào $(1)$, ta có $x^{3}+y^{3}=8-6xy \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-8+6xy=0 \Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4)=0$

TH1 : $x+y=2$ thay vào $(2)$ tìm đc x,y 
TH2 : $x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=-2$ thử lại thấy ko thỏa mãn 




#734510 Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 1 năm học 2022-2023

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 19-08-2022 - 12:04

Em xin góp lời giải câu 1b 
Công 2 phương trình ta có $x^{2}+y^{2}=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )$

Nếu $xy=0 \Rightarrow x=y=0$ ( thỏa mãn) 
Nếu $xy\neq 0$

Ta có $x^{2}+y^{2}>0;2\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) > 0 \Rightarrow xy> 0$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy \Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) \geq 1$

Mặt khác $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}} + \frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}+8}} \right )\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ ( thỏa mãn)  
Vậy cặp (x;y) thỏa mãn là $\left \{ (0;0),(1;1) \right \}$




#734275 $2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1)\geq (1+abcd)(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 08-08-2022 - 22:11

Theo $Holder$, ta có $\prod (a^{4}+1)\geq \left ( abcd+1 \right )^{4}$

Ta quy về chứng minh $2^{4}.\left [ \prod \left ( a^{3}+1 \right ) \right ]^{4} \geq \prod \left ( a^{4}+1 \right ).\left [ \prod \left ( a^{2}+1 \right ) \right ]^{4}$

Ta sẽ chứng minh $2(a^{3}+1)^{4}\geq \left ( a^{4}+1 \right ).\left (a^{2}+1 \right )^{4}$

Thật vậy $\left ( a^{2}+1 \right )^{4} \leq (a+1)^{2}.\left ( a^{3} +1\right )^{2}$

Thế thì cần chứng minh $2\left ( a^{3}+1 \right )^{2}\geq \left ( a^{4}+1 \right )\left ( a+1 \right )^{2} \Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$ ( luôn đúng) 
Phép chứng minh được hoàn tất




#734110 Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực ,.......

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 27-07-2022 - 10:54

Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn 
$P(x^{2}-x)+x.Q(x^{2}-x)=(x^{2}-4).R(x) [\forall x\in R]$

$a)$ Chứng minh phương trình $Q(x)=R(x-3)$ có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt.

$b)$ GIả sử rằng tổng bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=P^{2}(0)+8Q^{2}(3)$




#734095 Tìm $x\in R$ để $\frac{1-2x\sqrt{35...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 25-07-2022 - 00:04

Tìm $x\in R$ để $\frac{1-2x\sqrt{35}}{x^{2}}$ và $x+\sqrt{35}$ đều là số nguyên




#734094 Tìm tất cả giá trị của c

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 24-07-2022 - 23:56

Cho ba thức $f(x)=x^{2}-3x-7,g(x)=x^{2}-ax+2,h(x)=x^{2}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Xét các phương trình sau 
$f(x)+g(x)=0 ;g(x)+h(x)=0;f(x)+h(x)=0$

Biết rằng mỗi cặp phương trình đều có 1 nghiệm thực chung và các nghiệm chung này đôi một khác nhau . Tìm tất cả giá trị của $c$

 




#734042 Cho tam giác ABC nhọn, gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và AB,... Chứng minh...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 20-07-2022 - 00:18

Cho$\Delta ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$, $(ABM) \cap (CAN)=\left \{ P \right \}, AP\cap (AMN)=\left \{ Q \right \}$

Chứng minh $AQ=2QP$




#734028 $\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 17-07-2022 - 22:06

$\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}=\frac{a^{2}+bc}{\sqrt{\left (a^{2}+bc \right ).(ab+ac)}}\geq \frac{2\left (a^{2}+bc \right )}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}\geq \frac{2\sum \left [ \left ( a^{2}+bc \right )\left ( b+c \right ) \right ] }{\prod (a+b)}=\frac{4\left ( \sum ab(a+b) \right )}{\prod (a+b)}=\frac{4\prod (a+b)-8abc}{\prod (a+b)}=4-\frac{8abc}{\prod (a+b)}$

$\Rightarrow LHS \geq 4-\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}+\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}$

$t=\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \leq 1$

$LHS \geq 4-t^{2}+t=4+t(1-t)\geq 4$




#733997 $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} +...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 14-07-2022 - 10:24

Đây chỉ là một mánh để đưa về Iran 1996 và áp dụng bổ đề $\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum ab \right )^{2}\leq \frac{\left ( \sum a \right )^{6}}{27}$

Để có $\sum ab$ ở dưới mẫu thì đoạn này dùng Cosi cái roẹt là ra

Mình nghĩ bạn không nên post mấy bài mẹo mực kiểu này .Ý kiến cá nhân

Cảm ơn bạn đã góp ý




#733988 $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} +...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 13-07-2022 - 12:25

$a,b,c>0,a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} + \frac{9}{4\left ( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} +c\sqrt{c}\right )} \geq \frac{9}{8}$