Sangnguyen3

Bài toán 45 : 
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, đường tròn tâm $I$ qua $B,C$ và cắt $HB,HC$ lần lượt tại $E,F$. Các đường tròn $(HBF),(HCE)$ cắt nhau tại $D$ . $(J)$ là đường tròn qua $E,F$ và trung điểm $BC$ cắt $HB,HC,FB,EC$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Gọi $U,V$ là tâm các đường tròn $(DMP),(DNQ)$.

CMR $ID//UV$

Cho tập $X=\{1;2;3;\ldots ;3000\}$. Có tồn tại hay không 1 tập $A$ có 2000 phần tử và với mỗi $x\in A \Rightarrow 2x\notin A$ ?

Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3(ab+bc+ca)}$ là số nguyên

$x=1 \Rightarrow y^{3}-1=p \Rightarrow y=2,p=7$

$x\geq 2$

Phương trinh được viết lại thành : $\frac{x^{p}-1}{x-1}=(y-1)(y^{2}+y+1)$

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m (x> 1)$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^{p}-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1 ( \mod p)$

Chứng minh : https://julielltv.wo...013/12/28/1436/

Quay lại bài toán : 

Từ đó ta có được : $\begin{cases} y-1\equiv 0,1 (\mod p) \\ y^{2}+y+1\equiv 0,1 (\ mod p) \end{cases}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}p\mid 7 \\ p\mid 2,p\mid 3 \end{array}\right.$

Với $p=7$ thì tìm được ở lúc đầu

Với $p=2 \Rightarrow x+1=y^{3}-1$ , lúc này sẽ tồn tại các số nguyên dương $x,y$ để thỏa mãn điều kiện này 
Tương tự với $p=3$

Các số nguyên tố $p$ thỏa mãn : $\left \{ 2,3,7 \right \}$

Tìm tất cả các sô nguyên tố $p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm (K) đi qua B,C cắt AC, AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE,CF. Gọi S là giao điểm của EF và BC. G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 
$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y\in N^{*}$

Cho $n=16^{3m}-4^{3m}+1$ với $m$ là số nguyên dương . Chứng minh rằng : $n\mid 2^{n-1}-1$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng : 
$\left | \frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right |\leq \left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2} =6$

Tìm max của $P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$

$6P=3 +\sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}- \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}$

$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{c^{2}}{2ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \sum \frac{c^{2}}{2ab}=\frac{\sum a^{3}}{2abc}$

$\Rightarrow 6P\leq 3 \Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

Với $n=1 \Rightarrow p_{1}=2 = 2^{2^{1-1}}$

$n=2 \Rightarrow p_{2}=3< 2^{2^{2-1}}=4$

Giả sử đúng với $n=k$ thì $p_{k}\leq 2^{2^{k-1}}$

Cần chứng minh : $p_{k+1}\leq 2^{2^{k}}$

Xét 1 số $x = p_{1}.p_{2}...p_{k}+1$ thì tồn tại 1 số nguyên tố $p_{l}$ sao cho $x\vdots p_{l}$ và $(p_{l};p_{i})=1$ với $i=\overline{1,2,..,n}$

$\Rightarrow p_{l}\geq p_{k+1}$

$p_{k+1}\leq p_{l}\leq p_{1}.p_{2}...p_{k}+1\leq 2^{2^{0}}.2^{2^{1}}.2^{2^{2}}...2^{2^{k-1}}+1 = 2^{2^{k}-1}+1\leq 2^{2^{k}}$

Viết $\sqrt{2}=\overline{a_{o}a_{1}a_{2}...}$ với $a_{i} \in \left \{ 0,1,2...,9 \right \}$ . Chứng minh rằng trong các số từ $a_{1000000}$ đến $a_{2000000}$ có ít nhất 1 số khác $0$

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi XY là một dây cung của đường tròn (O). Giả sử đường thẳng XY cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm các đoạn BQ, CP, XY, PQ. Chứng minh rằng tứ giác MNIJ nội tiếp.