Đến nội dung

Sangnguyen3

Sangnguyen3

Đăng ký: 06-04-2022
Offline Đăng nhập: 28-11-2023 - 00:35
-----

#741778 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 18-10-2023 - 10:51

Bài toán 45 : 
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, đường tròn tâm $I$ qua $B,C$ và cắt $HB,HC$ lần lượt tại $E,F$. Các đường tròn $(HBF),(HCE)$ cắt nhau tại $D$ . $(J)$ là đường tròn qua $E,F$ và trung điểm $BC$ cắt $HB,HC,FB,EC$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Gọi $U,V$ là tâm các đường tròn $(DMP),(DNQ)$.

CMR $ID//UV$




#741537 Cho tập $X=\{1;2;3;\ldots ;3000\}$. Có tồn...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 27-09-2023 - 11:47

Cho tập $X=\{1;2;3;\ldots ;3000\}$. Có tồn tại hay không 1 tập $A$ có 2000 phần tử và với mỗi $x\in A \Rightarrow 2x\notin A$ ?




#741506 Trong tam giác ABC, gọi (Ia) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác, tiếp...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 24-09-2023 - 10:58

Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$




#741151 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 23-08-2023 - 00:02

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3(ab+bc+ca)}$ là số nguyên




#740549 $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 13-07-2023 - 10:55

$x=1 \Rightarrow y^{3}-1=p \Rightarrow y=2,p=7$

$x\geq 2$

Phương trinh được viết lại thành : $\frac{x^{p}-1}{x-1}=(y-1)(y^{2}+y+1)$

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m (x> 1)$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^{p}-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1 ( \mod p)$

Chứng minh : https://julielltv.wo...013/12/28/1436/

Quay lại bài toán : 

Từ đó ta có được : $\begin{cases} y-1\equiv 0,1 (\mod p) \\ y^{2}+y+1\equiv 0,1 (\ mod p) \end{cases}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}p\mid 7 \\ p\mid 2,p\mid 3 \end{array}\right.$

Với $p=7$ thì tìm được ở lúc đầu

Với $p=2 \Rightarrow x+1=y^{3}-1$ , lúc này sẽ tồn tại các số nguyên dương $x,y$ để thỏa mãn điều kiện này 
Tương tự với $p=3$

Các số nguyên tố $p$ thỏa mãn : $\left \{ 2,3,7 \right \}$




#740548 $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 13-07-2023 - 10:23

Tìm tất cả các sô nguyên tố $p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$




#740473 Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 09-07-2023 - 00:19

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm (K) đi qua B,C cắt AC, AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE,CF. Gọi S là giao điểm của EF và BC. G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn




#740432 ​$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 07-07-2023 - 14:10

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 
$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y\in N^{*}$




#740220 Cho $n=16^{3m}-4^{3m}+1$ với $m$ là s...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 27-06-2023 - 12:03

Cho $n=16^{3m}-4^{3m}+1$ với $m$ là số nguyên dương . Chứng minh rằng : $n\mid 2^{n-1}-1$




#739996 $\left | \frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 12-06-2023 - 12:30

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng : 
$\left | \frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right |\leq \left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}$




#739759 $P= \sum\frac{1}{a^{2}+b^{2...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 01-06-2023 - 10:06

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2} =6$

Tìm max của $P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$

$6P=3 +\sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}- \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}$

$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{c^{2}}{2ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \sum \frac{c^{2}}{2ab}=\frac{\sum a^{3}}{2abc}$

$\Rightarrow 6P\leq 3 \Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$




#739186 $p_{n}\leq 2^{2^{n-1}}$

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 12-05-2023 - 00:32

Với $n=1 \Rightarrow p_{1}=2 = 2^{2^{1-1}}$

$n=2 \Rightarrow p_{2}=3< 2^{2^{2-1}}=4$

Giả sử đúng với $n=k$ thì $p_{k}\leq 2^{2^{k-1}}$

Cần chứng minh : $p_{k+1}\leq 2^{2^{k}}$

Xét 1 số $x = p_{1}.p_{2}...p_{k}+1$ thì tồn tại 1 số nguyên tố $p_{l}$ sao cho $x\vdots p_{l}$ và $(p_{l};p_{i})=1$ với $i=\overline{1,2,..,n}$

$\Rightarrow p_{l}\geq p_{k+1}$

$p_{k+1}\leq p_{l}\leq p_{1}.p_{2}...p_{k}+1\leq 2^{2^{0}}.2^{2^{1}}.2^{2^{2}}...2^{2^{k-1}}+1 = 2^{2^{k}-1}+1\leq 2^{2^{k}}$

 




#739183 Viết $\sqrt{2}=\overline{a_{o}a_...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 12-05-2023 - 00:05

Viết $\sqrt{2}=\overline{a_{o}a_{1}a_{2}...}$ với $a_{i} \in \left \{ 0,1,2...,9 \right \}$ . Chứng minh rằng trong các số từ $a_{1000000}$ đến $a_{2000000}$ có ít nhất 1 số khác $0$




#739155 Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 10-05-2023 - 22:20

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$




#739005 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi XY là một dây cung của đường tr...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 03-05-2023 - 00:40

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi XY là một dây cung của đường tròn (O). Giả sử đường thẳng XY cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm các đoạn BQ, CP, XY, PQ. Chứng minh rằng tứ giác MNIJ nội tiếp.