Sangnguyen3

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$

Câu này thầy cho em thêm để em làm bổ sung trong 1 cái list bài mà bài này khó nhất em chưa làm ra ( em ko bt nó có trong sách thầy cẩn ko

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm gtnn của $ P=\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}-2abc$

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. (AEH) cắt DE tại K khác E. Gọi L là giao AK với BC. CK cắt AB tại T. Trên tia đối HC lấy P sao cho HP/HK=BL/BC.Đường thẳng AD cắt BP tại Q. CMR QT vuông góc với AB

Ta có $7xy+y-x=7 \Rightarrow xy+y-x+1=8-6xy$

Thay vào $(1)$, ta có $x^{3}+y^{3}=8-6xy \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-8+6xy=0 \Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4)=0$

TH1 : $x+y=2$ thay vào $(2)$ tìm đc x,y 
TH2 : $x^{2}+y^{2}-xy+2x+2y+4=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=-2$ thử lại thấy ko thỏa mãn 

Em xin góp lời giải câu 1b 
Công 2 phương trình ta có $x^{2}+y^{2}=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )$

Nếu $xy=0 \Rightarrow x=y=0$ ( thỏa mãn) 
Nếu $xy\neq 0$

Ta có $x^{2}+y^{2}>0;2\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) > 0 \Rightarrow xy> 0$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy \Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right ) \geq 1$

Mặt khác $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}+8}} + \frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}+8}} \right )\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ ( thỏa mãn)  
Vậy cặp (x;y) thỏa mãn là $\left \{ (0;0),(1;1) \right \}$

Theo $Holder$, ta có $\prod (a^{4}+1)\geq \left ( abcd+1 \right )^{4}$

Ta quy về chứng minh $2^{4}.\left [ \prod \left ( a^{3}+1 \right ) \right ]^{4} \geq \prod \left ( a^{4}+1 \right ).\left [ \prod \left ( a^{2}+1 \right ) \right ]^{4}$

Ta sẽ chứng minh $2(a^{3}+1)^{4}\geq \left ( a^{4}+1 \right ).\left (a^{2}+1 \right )^{4}$

Thật vậy $\left ( a^{2}+1 \right )^{4} \leq (a+1)^{2}.\left ( a^{3} +1\right )^{2}$

Thế thì cần chứng minh $2\left ( a^{3}+1 \right )^{2}\geq \left ( a^{4}+1 \right )\left ( a+1 \right )^{2} \Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$ ( luôn đúng) 
Phép chứng minh được hoàn tất

Cho $P(x),Q(x),R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn 
$P(x^{2}-x)+x.Q(x^{2}-x)=(x^{2}-4).R(x) [\forall x\in R]$

$a)$ Chứng minh phương trình $Q(x)=R(x-3)$ có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt.

$b)$ GIả sử rằng tổng bậc của $P(x),Q(x),R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=P^{2}(0)+8Q^{2}(3)$

Tìm $x\in R$ để $\frac{1-2x\sqrt{35}}{x^{2}}$ và $x+\sqrt{35}$ đều là số nguyên

Cho ba thức $f(x)=x^{2}-3x-7,g(x)=x^{2}-ax+2,h(x)=x^{2}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Xét các phương trình sau 
$f(x)+g(x)=0 ;g(x)+h(x)=0;f(x)+h(x)=0$

Biết rằng mỗi cặp phương trình đều có 1 nghiệm thực chung và các nghiệm chung này đôi một khác nhau . Tìm tất cả giá trị của $c$

 

Cho$\Delta ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$, $(ABM) \cap (CAN)=\left \{ P \right \}, AP\cap (AMN)=\left \{ Q \right \}$

Chứng minh $AQ=2QP$

$\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}=\frac{a^{2}+bc}{\sqrt{\left (a^{2}+bc \right ).(ab+ac)}}\geq \frac{2\left (a^{2}+bc \right )}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}}\geq \frac{2\sum \left [ \left ( a^{2}+bc \right )\left ( b+c \right ) \right ] }{\prod (a+b)}=\frac{4\left ( \sum ab(a+b) \right )}{\prod (a+b)}=\frac{4\prod (a+b)-8abc}{\prod (a+b)}=4-\frac{8abc}{\prod (a+b)}$

$\Rightarrow LHS \geq 4-\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}+\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}$

$t=\sqrt{\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \leq 1$

$LHS \geq 4-t^{2}+t=4+t(1-t)\geq 4$

Đây chỉ là một mánh để đưa về Iran 1996 và áp dụng bổ đề $\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum ab \right )^{2}\leq \frac{\left ( \sum a \right )^{6}}{27}$

Để có $\sum ab$ ở dưới mẫu thì đoạn này dùng Cosi cái roẹt là ra

Mình nghĩ bạn không nên post mấy bài mẹo mực kiểu này .Ý kiến cá nhân

Cảm ơn bạn đã góp ý

$a,b,c>0,a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} + \frac{9}{4\left ( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} +c\sqrt{c}\right )} \geq \frac{9}{8}$