Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Sangnguyen3

Đăng ký: 06-04-2022
Offline Đăng nhập: 24-01-2023 - 23:51
-----

#736907 Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu ta có thể điền tất cả các ước ng...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 24-01-2023 - 23:25

Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu ta có thể điền tất cả các ước nguyên dương của n vào một bảng ô vuông,mỗi ô 1 số,hai ô vuông phân biệt thì điền hai số phân biệt,sao cho tổng tất cả các số được điền ở mỗi hàng bằng nhau và tổng tất cả các só được điền ở mỗi cột bằng nhau.Hỏi có bao nhiêu số nguyên lớn hơn 1 là số đẹp.




#736803 Tìm các cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn $x^3 + 6xy -4x^2 + 4x=y^2+6...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 16-01-2023 - 10:22

$\Leftrightarrow (3x-y)^{2}=x^{3}+5x^{2}+4x-6=(x+3)(x^{2}+2x-2)$

$gcd(x+3;x^2+2x-2)=gcd(x^{2}+3x;x^{2}+2x-2)=gcd(x+3;x+2)=1$

$\Rightarrow x^{2}+2x-2$ la 1 so chinh phuong 
$x^{2}+2x-2=a^{2}  (a>0)$ 

$x^{2} \leq x^{2}+2x-2=a^{2} < (x+1)^{2}$

$\Rightarrow a^{2}=x^{2}+2x-2\Rightarrow x=1 \Rightarrow y=1$




#736754 P(x),Q(x),R(x) với hệ số thực có bậc thương ứng là 3,2,3, thỏa $P^2(x) +...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 14-01-2023 - 11:24

1/ Cho 3 đa thức $P(x),Q(x),R(x)$ với hệ số thực có bậc tương ứng là 3,2,3 thỏa mãn $P^2(x)+Q^2(x)=R^2(x)$

Chứng minh rằng $L(x)=P(x).Q(x).R(x)$ có ít nhất 6 nghiệm.

2/ Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ và $Q(x)=x^2+px+q$ hệ số hữu tỉ. Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng có độ dài lớn hơn 2 ( hiệu của khoảng x đó lớn hơn 2), ngoài khoảng đó thì chúng đều nhận giá trị âm. Chứng minh rằng tồn tại số thực $m$ sao cho $P(m)< Q(m)$




#736586 Giải phương trình $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}....

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 01-01-2023 - 01:03

$\Leftrightarrow (2x)^{3}+2x=\sqrt[3]{6x+1}+6x+1 \Leftrightarrow 8x^3=6x+1$

Tới đây bạn tự giải tiếp, bài này nghiệm xấu




#736568 Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$, cmr: $...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 30-12-2022 - 22:31

$\Leftrightarrow \frac{a+ab^2 + b+ a^2b}{(a+b)^{2}(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\Leftrightarrow \left (\frac{ab+1}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right )^{2}\leq \frac{1}{(c+a)(c+b)}$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a+b)(a+c)(b+a)(b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a^2+1)(b^2+1)$

Điều này luôn đúng 




#736395 Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 22-12-2022 - 11:05

Điều kiện xác định : $x^{2}\geq \frac{1}{2}$

Đặt $t=\sqrt{2x^{2}-1} \geq 0$

Phương trình trở thành : 

$10x^{2}+3x-6-2t(3x+1)=0$

$\Leftrightarrow 4t^{2}-2(3x+1)t +(2x^{2}+3x-2)=0$

$\Delta '=(3x+1)^{2}-4(2x^{2}+3x-2)=(x-3)^{2}$

$t_{1}=\frac{3x+1+x-3}{4},t_{2}=\frac{3x+1+3-x}{4}$

Tới đây giải pt bậc 2 bình thường đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm




#735972 $\sum \left( \dfrac{a}{a+b} \rig...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 30-11-2022 - 21:59

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+\frac{b}{a}} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{d}{c}=z,\frac{a}{d}=t \Rightarrow xyzt=1$

Cần chứng minh $\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{1}{(1+x)^{4}}+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{2(1+x)^{2}}$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x}\right )^{4}\geq \frac{1}{2}.\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2} - \frac{1}{4}$

Ta có $\frac{1}{(1+x)^{2}}+ \frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1} \Leftrightarrow xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}\geq 0$

Thiết lập bđt tương tự với $z,t$

$\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2}\geq \frac{1}{xy+1} +\frac{1}{zt+1} =1$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$




#735352 Tìm số nguyên dương $a,b$ thỏa $a^{4}+b^2$ chia hết cho...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 16-10-2022 - 23:55

Tìm số nguyên dương $a,b$ thỏa $a^{4}+b^2$ chia hết cho $7^a -3^b$




#735333 $2^{p}=2^{q-2}+q!$

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 15-10-2022 - 08:58

Tìm số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $2^{p}=2^{q-2}+q!$




#735214 Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 03-10-2022 - 21:28

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$




#735123 giai phuong trinh nghiem nguyen $x^{3}+y^{3}+3x^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 27-09-2022 - 11:21

$x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y^{2}-3xy+6x=0 \Leftrightarrow (x+1)^{3}+(y-1)^{3}-3xy-3y+3x+3=3$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(y-1)^{3}-3(x+1)(y-1)=3$

$\left ( x+1;y-1 \right )=(m;n)$

$m^{3}+n^{3}-3mn=3 \Leftrightarrow (m+n)^{3}-3mn(m+n)-3mn-3=0$

$\Leftrightarrow (m+n+1)\left [ \left ( m+n \right )^{2} -(m+n)+1\right ]-3mn(m+n+1)=4$

$\Leftrightarrow (m+n+1)\left ( m^{2}-mn+n^{2}-m-n+1 \right )=4$

$\Delta 1: m+n+1=1 \Rightarrow m+n=0 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=3 \Rightarrow mn=-1 \Rightarrow (x;y)\in \left \{ (0;0),(-2;2) \right \}$

$\Delta 2 : m+n+1=-1 \Rightarrow m+n=-2 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+7=0 (loai)$

$\Delta3 :m+n+1=2 \Rightarrow m+n=1 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=2$

$\Rightarrow mn=-\frac{1}{3}(loai)$

$\Delta 4 : m+n+1=-2 \Rightarrow m+n=-3 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+6=0 (loai)$

$\Delta 5 : m+n+1=4 \Rightarrow m+n=3 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=3 \Rightarrow mn=2 \Rightarrow (x;y)\in \left \{ (0;3),(1;2) \right \}$

$\Delta 6 : m+n+1=-4 \Rightarrow m+n=-5 \Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}+7=0 (loai)$

$(x;y)\in \left \{ (0;0) ,(2;2), (0;3),(1;2) \right \}$




#735122 $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 27-09-2022 - 10:08

$\sum \frac{a}{b+2c}-1 \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}-1=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{3\sum ab}=\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}$

Can chung minh :$\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

WLOG, gia su $a=min\left \{ a;b;c \right \} \Rightarrow (a-c)(a-b)\geq 0$

Quy ve chung minh $\frac{(b-c)^{2}}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}} \Leftrightarrow (b-c)^{2}\left ( b^{2}+2bc+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geq 0$ 
 




#735049 Cho a,b,c ko âm thỏa $a^2+b^2+c^2=2$, tìm min và max của $A=a^...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 21-09-2022 - 23:37

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$




#734692 Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 29-08-2022 - 22:37

Câu này thầy cho em thêm để em làm bổ sung trong 1 cái list bài mà bài này khó nhất em chưa làm ra :(( em ko bt nó có trong sách thầy cẩn ko




#734691 Cho $ a,b,c >0 $ thỏa $ abc=1$. CMR $\prod...

Gửi bởi Sangnguyen3 trong 29-08-2022 - 22:35

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$