Đến nội dung


manh huy

Đăng ký: 04-08-2022
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Mệnh đề về liên hệ giữa $\dim R_{\lambda}$...

05-08-2022 - 09:29

Bạn gõ sai rồi, ma trận này phải là

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Đó là do định lý 4.2 trong cùng sách, vì $(f-\lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}}$ là lũy linh nên nó có một cơ sở cyclic nên ma trận nó có dạng (ma trận ngay trên định lý 4.2)

$$(f- \lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & 0 & ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...&0& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & 0\end{pmatrix}$$

Khi này bạn chuyển vế $\lambda \mathrm{id}$ sang vế phải sẽ suy ra dạng của $f$ là

$$ f_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Do đó đa thức đặc trưng của $f_{\mid R_{\lambda}}$ sẽ là

$$P_{f_{\mid R_{\lambda}}}(X) = \mathrm{det}\begin{pmatrix} \lambda - X & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda - X& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda - X& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda - X& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda - X \end{pmatrix} = (\lambda - X)^{\mathrm{dim}(R_{\lambda})}.$$

Lý do là vì đây là ma trận tam giác trên nên định thức chỉ là tích các phần tử trên đường chéo.

Em cảm ơn bác,
Duy có phần chuyển vế $\lambda \text{id}$ em còn thắc mắc, tại sao mình được viết một cái đồng cấu = 1 cái ma trận để thao tác đại số như thế ạ.