Đến nội dung

kograysus

kograysus

Đăng ký: 07-08-2022
Offline Đăng nhập: 27-01-2024 - 17:52
***--

#741272 Chứng minh $\Delta{ABC}$ đều

Gửi bởi kograysus trong 01-09-2023 - 11:01

Cho $\Delta{ABC}$ có $3$ đường phân giác $AD,BE,CF$. Gọi độ dài 3 cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt là $a,b,c$. Biết $a.\vec{AD}+b.\vec{BE}+c.\vec{CF}=\vec{0}$. Chứng minh $\Delta{ABC}$ đều




#740743 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta{DXY}...

Gửi bởi kograysus trong 26-07-2023 - 02:13

Cho $\Delta{ABC}$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $BI,CI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 lần lượt là $J,K$, $EF$ cắt $(O)$ tại $X,Y$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta{DXY}$ là trung điểm $JK$




#740263 Chứng minh $NM$ tiếp xúc với $(I)$

Gửi bởi kograysus trong 29-06-2023 - 22:51

Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $T$, gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AT$. Chứng minh $NM$ tiếp xúc với $(I)$




#740203 Chứng minh KA=KN

Gửi bởi kograysus trong 26-06-2023 - 17:10

Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, kẻ đường kính $AX$
Ta có $BH \perp AC$, $CX \perp AC$ nên $BH//CX$
Chứng minh tương tự thu được $CH//BX$
$\Rightarrow BHCX$ là hình bình hành $\Rightarrow  H,M,X$ thẳng hàng và
$M$ là trung điểm $HX$
$\Rightarrow IM//AX \Rightarrow IM \perp AK$
lại có $AI \perp KM \Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta AKM$
$\Rightarrow KI \perp AN$, 
Mặt khác có được $AI=IN$ $\Rightarrow KI$ là trung trực $AN$
nên $KA=KN$

Hình gửi kèm

  • z4465022989191_bb9c3d7efc0373697e5cea11b0f7ae74.jpg



#740144 Chứng minh $D,H,E$ thẳng hàng

Gửi bởi kograysus trong 22-06-2023 - 13:24

Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, điểm $H$ thuộc đường thẳng $AI$ sao cho $MH=MD$ ($H$ nằm trong $\Delta{ABC}$) . CMR $E,H,D$ thẳng hàng

 

Hình gửi kèm

  • z4453750330124_5f54a826124d97a2fc767913acebb7ba.jpg



#739781 $7^x+3^y=2^z$

Gửi bởi kograysus trong 01-06-2023 - 22:51

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $7^x+3^y=2^z$




#739529 Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $M$ là đi...

Gửi bởi kograysus trong 25-05-2023 - 21:04

E xin giải ạ

Hình gửi kèm

  • z4376645539007_3540f92dc8fad938e58fb3795924f9e8.jpg



#739431 CMR $TX$ vuông góc với $TO$

Gửi bởi kograysus trong 20-05-2023 - 21:27

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $BC$, tia $MH$ cắt $(O)$ tại $(Q)$, Đường tròn tâm $T$ đường kính $QH$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $Q$, kẻ $HX$ vuông góc $HM$ ( $X$ thuộc $BC$). CMR $TX$ vuông góc với $TO$




#739293 Chứng minh đường thẳng qua $A$ vuông góc với tiếp tuyến tại $H...

Gửi bởi kograysus trong 14-05-2023 - 23:19

Mình xin giải ạ:

a,Áp dụng Định lí Brocard cho tứ giác $BCEF$ nội tiếp có $H$ là trực tâm $\Delta ASM$ nên $SH$ vuông góc $AM$

b,Gọi $P,Q$ là giao điểm của tiếp tuyến của $(HB'C')$ tại $H$ với $AB,AC$

Ta có $\widehat{FHP}=\widehat{AB'H}=\widehat{ABE}$ $\Rightarrow $ $\widehat{APQ}=\widehat{ABE}+\widehat{PHB}=\widehat{FHB}$

  Tương tự $\widehat{AQP}=\widehat{EHC}$ mà $\widehat{FHB}=\widehat{EHC}$ nên  $\widehat{APQ}=\widehat{AQP}$

 Suy ra $\Delta APQ$ cân tại $A$ mà $AI \perp PQ$ nên $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$ 

Từ đó suy ra $AI$ đi qua điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ cố định(đpcm)

Bạn xem lại hộ mình với, hình như $AI$ đi qua điểm đối xứng của $O$ qua $BC$ chứ không phải là phân giác bạn ạ

Mình thấy bạn nhầm ở chỗ $\widehat{FHP}=\widehat{AB'H}$ ý, $A,B_1.C_1$ có thẳng hàng đâu nhỉ




#739265 Chứng minh đường thẳng qua $A$ vuông góc với tiếp tuyến tại $H...

Gửi bởi kograysus trong 14-05-2023 - 17:38

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$, $M$ là trung điểm $BC$, gọi $S$ là giao điểm $EF$ với $BC$

a) CMR $SH$ vuông góc với $AM$

b)Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là điểm đối xứng của $B$ qua $AC$, $C$ qua $AB$, Chứng minh khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của $(O)$ thì đường thẳng qua $A$ vuông góc với tiếp tuyến tại $H$ của $(HB_1C_1)$ đi qua điểm cố định




#738376 CMR trực tâm $\Delta APQ$ luôn nằm trên đường tròn cố định

Gửi bởi kograysus trong 05-04-2023 - 21:42

mình sửa lại rồi bạn nhé

 

Điểm $Q$ ? 




#738276 Đề thi thử chuyên toán Amsterdam 2/4/2023

Gửi bởi kograysus trong 02-04-2023 - 19:21

339277602_1427317998099970_1214549516609




#737563 Tìm các số nguyên $x,y$ và số nguyên tố $p$: $x^3+2x...

Gửi bởi kograysus trong 05-03-2023 - 19:14

Tìm các số nguyên x,y và số nguyên tố p thỏa mãn $x^3+2x=3(p^y-1)$




#737263 Chứng minh $D, X, Y, K$ đồng viên

Gửi bởi kograysus trong 15-02-2023 - 21:25

mình không rõ có đúng không
a) (ADK) cắt (Y) tại J, ta chứng minh A,C,J thẳng hàng
ta có CJX=90 => XJ vuông AJ => XJ//BE
=>AHE=AXJ => ACD=AXJ => ACD+DCJ=AXJ+DCJ=180 => A,C,J thẳng hàng
=> AKD=AJD=CJD=DXY => DKXY nội tiếp
b)ACH=ACG=AKG
mà ACH=OCB=DXC=DJC=DJA =AKD
=> AKD=AKG => G,D,K thẳng hàng
c) tính chất quen thuộc: AGP cân tại A
=> ALP=AKG , mà AKD=AKG=ACG=ADE=ADM =>ADM~AKD(gg)  =>AD^2=AM.AK(1)
dễ cm DH là phân giác FDE
=> ALD=AKD=ADE=ADF => ALD=ADF=ADN =>ADN~ALD(gg) =>AD^2=AN.AL(2)
từ (1) và (2) => AM.AK=AN.AL => MNLK đồng viên (đpcm)
 

Hình gửi kèm

  • diendantoanhoc.jpg



#734704 $\angle PBQ+\angle ABC = 90^o$

Gửi bởi kograysus trong 30-08-2022 - 17:39

Tam giác ABC nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau tại H. M là trung điểm EF. P là điểm đối xứng của H qua BC. Gọi Q là giao điểm BM và PE, CMR $\angle PBQ+\angle ABC = 90^o$