Duc3290

giả thiết phải là $\sum \sqrt{3a+1}=\sqrt{10}+2$ chứ

$\frac{a^3+1}{a^2}=\frac{b^3+1}{b^2} \Leftrightarrow \frac{(a-b)(a^2b^2-a-b)}{a^2b^2}=0 \Leftrightarrow a^2b^2=a+b \Leftrightarrow c^2(a+b)=a^2b^2c^2$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow a^2b^2c^2=a^2(b+c) \Rightarrow a^2(b+c)=c^2(a+b) \Leftrightarrow (a-c)(ab+bc+ca)=0 \Leftrightarrow ab+bc+ca=0$

Mình góp một lời giải, mong sẽ có cách ngắn hơn

a) Ta có: $\angle ACE = \angle ADB$ và $\angle EAC = \angle ACD =\angle ABD$ nên có đpcm

b) Gọi $AE$ cắt lại $(O)$ tại $H$, $CH$ cắt $AB$ tại G, $EG$ cắt $AC$ tại $K$, $BF$ cắt $AC$ tại $I$, $EG$ cắt $HB$ tại $N$

Áp dụng định lý Menelauýt cho $\triangle EOC$, cát tuyến $FBI$

$$\frac{EF}{OF}.\frac{OI}{CI}.\frac{CB}{EB}=1$$

$$\Rightarrow \frac{EF}{OF} = \frac{BE.CI}{BC.OI}(*)$$

Dễ thấy $CH,AB,EK$ là ba đường cao đồng quy tại trực tâm G của $\triangle AEC$ và tứ giác $AHCD$ là hình chữ nhật nên

$$\angle IBC = \angle CAD = \angle HCA = \angle HEN$$

$$\angle ICB = \angle NHF$$

Do đó $\triangle IBC \sim \triangle NEH(g-g) \Rightarrow \frac{CI}{BC}=\frac{HN}{HE}(1)$

Ta cũng có: 

$$\angle BOI = \angle OBA + \angle OAB = 2\angle OAB = 2\angle KHG = \angle NHK$$

$$\angle BIO =180^o - \angle BIC = 180^o - \angle HNF = \angle HNK$$

Do đó $\triangle BOI \sim \triangle KHN (g-g) \Rightarrow \frac{BO}{OI}=\frac{KH}{HN}(2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{HK}{HE}$

Mà $\triangle HBE \sim \triangle HAK (g-g) \Rightarrow \frac{HK}{HE} = \frac{AK}{BE}$, từ đó suy ra

$$\frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{AK}{BE}$$

$$\Rightarrow \frac{BE.CI}{BC.OI} = \frac{AK}{BO}=\frac{AK}{AO}$$

Kết hợp với $(*) \Rightarrow \frac{EF}{FO} = \frac{AK}{AO} \Rightarrow EK || FA $

Mà $EK$ vuông góc $AC$ nên $FA$ vuông góc $AC$ hay ta có đpcm

Giả sử tồn tại các số hữu tỷ $x,y$ thỏa mãn đề bài

Đặt $x = \frac{a}{c}, y= \frac{b}{c}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}; c \not = 0; (a,b,c)=1$

Giả thiết trở thành $a^2+b^2=7c^2 \Rightarrow a^2+b^2 \vdots 7$

Mà $a^2,b^2 \equiv 0,1,2,4 (mod 7)$ nên ta phải có $\begin{cases} a^2 \vdots 7 \\ b^2 \vdots 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \vdots 7 \\ b \vdots 7 \end{cases}$

Từ đó ta có $7c^2 = a^2+b^2 \vdots 49 \Rightarrow c \vdots 7 \Rightarrow $ vô lý vì $(a,b,c)=1$.

Vậy câu trả lời là phủ định

Cho các số thực dương $a;b;c$. Chứng minh rằng:$$\left ( \frac{b}{a+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^2\geq \frac{b^2-ac+c^2}{a^2+bc}$$

Đề mình nghĩ phải là $$\left ( \frac{b}{a+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^2\geq \frac{b^2-bc+c^2}{a^2+bc}$$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$(a+c)^2\leq (a^2+bc)(1+\frac{c}{b}) = \frac{(a^2+bc)(b+c)}{b}$$

Chứng minh tương tự và cộng lại 

$$\Rightarrow VT \geq \frac{b^3+c^3}{(a^2+bc)(b+c)} = VP$$